Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24165 / 27169
↖ ↑ ↗
← N 29.377388°
W 47.257690°		 ← 532.25 m → N 29.377388°
W 47.252197°		 →
↑
532.23 m
↓
↑
532.23 m
↓
N 29.372602°
W 47.257690°		 ← 532.27 m →
283 285 m²		 N 29.372602°
W 47.252197°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24165 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27169 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.368736267089844 y=0.414573669433594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.368736267089844 × 216)
    floor (0.368736267089844 × 65536)
    floor (24165.5)     		tx = 24165
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414573669433594 × 216)
    floor (0.414573669433594 × 65536)
    floor (27169.5)     		ty = 27169
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24165 / 27169 ti = "16/24165/27169"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24165/27169.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24165 ÷ 216
    24165 ÷ 65536     		x = 0.368728637695312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27169 ÷ 216
    27169 ÷ 65536     		y = 0.414566040039062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.368728637695312 × 2 - 1) × π
    -0.262542724609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.82480229
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.414566040039062 × 2 - 1) × π
    0.170867919921875 × 3.1415926535     		Φ = 0.536797401945389
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82480229} λ = -0.82480229}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.536797401945389))-π/2
    2×atan(1.71051997278673)-π/2
    2×1.04176424002972-π/2
    2.08352848005944-1.57079632675     		φ = 0.51273215
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82480229} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.257690°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51273215 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.377388°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24165 KachelY 27169 -0.82480229 0.51273215 -47.257690 29.377388
    Oben rechts KachelX + 1 24166 KachelY 27169 -0.82470642 0.51273215 -47.252197 29.377388
    Unten links KachelX 24165 KachelY + 1 27170 -0.82480229 0.51264861 -47.257690 29.372602
    Unten rechts KachelX + 1 24166 KachelY + 1 27170 -0.82470642 0.51264861 -47.252197 29.372602
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51273215-0.51264861) × R
    8.35400000001041e-05 × 6371000     		dl = 532.233340000663m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51273215-0.51264861) × R
    8.35400000001041e-05 × 6371000     		dr = 532.233340000663m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82480229--0.82470642) × cos(0.51273215) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.871407478478701 × 6371000     		do = 532.245030541317m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82480229--0.82470642) × cos(0.51264861) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.871448456811184 × 6371000     		du = 532.270059605633m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51273215)-sin(0.51264861))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871407478478701-0.871448456811184)×R²
    abs(-0.82470642--0.82480229)×4.09783324822888e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.09783324822888e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.09783324822888e-05×40589641000000     		ar = 283285.211119797m²