Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24163 / 27167
↖ ↑ ↗
← N 29.386962°
W 47.268677°		 ← 532.19 m → N 29.386962°
W 47.263184°		 →
↑
532.23 m
↓
↑
532.23 m
↓
N 29.382175°
W 47.268677°		 ← 532.22 m →
283 259 m²		 N 29.382175°
W 47.263184°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24163 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27167 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.368705749511719 y=0.414543151855469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.368705749511719 × 216)
    floor (0.368705749511719 × 65536)
    floor (24163.5)     		tx = 24163
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414543151855469 × 216)
    floor (0.414543151855469 × 65536)
    floor (27167.5)     		ty = 27167
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24163 / 27167 ti = "16/24163/27167"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24163/27167.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24163 ÷ 216
    24163 ÷ 65536     		x = 0.368698120117188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27167 ÷ 216
    27167 ÷ 65536     		y = 0.414535522460938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.368698120117188 × 2 - 1) × π
    -0.262603759765625 × 3.1415926535     		Λ = -0.82499404
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.414535522460938 × 2 - 1) × π
    0.170928955078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.536989149543869
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82499404} λ = -0.82499404}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.536989149543869))-π/2
    2×atan(1.71084799233114)-π/2
    2×1.04184778124566-π/2
    2.08369556249133-1.57079632675     		φ = 0.51289924
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82499404} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.268677°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51289924 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.386962°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24163 KachelY 27167 -0.82499404 0.51289924 -47.268677 29.386962
    Oben rechts KachelX + 1 24164 KachelY 27167 -0.82489817 0.51289924 -47.263184 29.386962
    Unten links KachelX 24163 KachelY + 1 27168 -0.82499404 0.51281570 -47.268677 29.382175
    Unten rechts KachelX + 1 24164 KachelY + 1 27168 -0.82489817 0.51281570 -47.263184 29.382175
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51289924-0.51281570) × R
    8.35399999999931e-05 × 6371000     		dl = 532.233339999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51289924-0.51281570) × R
    8.35399999999931e-05 × 6371000     		dr = 532.233339999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82499404--0.82489817) × cos(0.51289924) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.871325498662489 × 6371000     		do = 532.194958272188m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82499404--0.82489817) × cos(0.51281570) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.871366489158399 × 6371000     		du = 532.219994765776m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51289924)-sin(0.51281570))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871325498662489-0.871366489158399)×R²
    abs(-0.82489817--0.82499404)×4.09904959105534e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.09904959105534e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.09904959105534e-05×40589641000000     		ar = 283258.562965221m²