Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24161 / 27168
↖ ↑ ↗
← N 29.382175°
W 47.279663°		 ← 532.22 m → N 29.382175°
W 47.274170°		 →
↑
532.30 m
↓
↑
532.30 m
↓
N 29.377388°
W 47.279663°		 ← 532.25 m →
283 306 m²		 N 29.377388°
W 47.274170°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24161 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27168 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.368675231933594 y=0.414558410644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.368675231933594 × 216)
    floor (0.368675231933594 × 65536)
    floor (24161.5)     		tx = 24161
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414558410644531 × 216)
    floor (0.414558410644531 × 65536)
    floor (27168.5)     		ty = 27168
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24161 / 27168 ti = "16/24161/27168"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24161/27168.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24161 ÷ 216
    24161 ÷ 65536     		x = 0.368667602539062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27168 ÷ 216
    27168 ÷ 65536     		y = 0.41455078125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.368667602539062 × 2 - 1) × π
    -0.262664794921875 × 3.1415926535     		Λ = -0.82518579
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41455078125 × 2 - 1) × π
    0.1708984375 × 3.1415926535     		Φ = 0.536893275744629
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82518579} λ = -0.82518579}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.536893275744629))-π/2
    2×atan(1.71068397469682)-π/2
    2×1.04180601162011-π/2
    2.08361202324022-1.57079632675     		φ = 0.51281570
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82518579} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.279663°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51281570 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.382175°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24161 KachelY 27168 -0.82518579 0.51281570 -47.279663 29.382175
    Oben rechts KachelX + 1 24162 KachelY 27168 -0.82508992 0.51281570 -47.274170 29.382175
    Unten links KachelX 24161 KachelY + 1 27169 -0.82518579 0.51273215 -47.279663 29.377388
    Unten rechts KachelX + 1 24162 KachelY + 1 27169 -0.82508992 0.51273215 -47.274170 29.377388
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51281570-0.51273215) × R
    8.35499999999323e-05 × 6371000     		dl = 532.297049999569m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51281570-0.51273215) × R
    8.35499999999323e-05 × 6371000     		dr = 532.297049999569m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82518579--0.82508992) × cos(0.51281570) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.871366489158399 × 6371000     		do = 532.219994765776m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82518579--0.82508992) × cos(0.51273215) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.871407478478701 × 6371000     		du = 532.245030541317m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51281570)-sin(0.51273215))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871366489158399-0.871407478478701)×R²
    abs(-0.82508992--0.82518579)×4.0989320302387e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.0989320302387e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.0989320302387e-05×40589641000000     		ar = 283305.796564292m²