Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24160 / 25436
↖ ↑ ↗
← S 70.005566°
E 85.429688°		 ← 417.69 m → S 70.005566°
E 85.440674°		 →
↑
417.68 m
↓
↑
417.68 m
↓
S 70.009323°
E 85.429688°		 ← 417.62 m →
174 447 m²		 S 70.009323°
E 85.440674°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24160 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25436 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.737319946289062 y=0.776260375976562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.737319946289062 × 215)
    floor (0.737319946289062 × 32768)
    floor (24160.5)     		tx = 24160
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776260375976562 × 215)
    floor (0.776260375976562 × 32768)
    floor (25436.5)     		ty = 25436
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24160 / 25436 ti = "15/24160/25436"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24160/25436.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24160 ÷ 215
    24160 ÷ 32768     		x = 0.7373046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25436 ÷ 215
    25436 ÷ 32768     		y = 0.7762451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7373046875 × 2 - 1) × π
    0.474609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.49102933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7762451171875 × 2 - 1) × π
    -0.552490234375 × 3.1415926535     		Φ = -1.73569926144299
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.49102933} λ = 1.49102933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73569926144299))-π/2
    2×atan(0.176276893544593)-π/2
    2×0.174484347932308-π/2
    0.348968695864615-1.57079632675     		φ = -1.22182763
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.49102933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 85.429688°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22182763 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.005566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24160 KachelY 25436 1.49102933 -1.22182763 85.429688 -70.005566
    Oben rechts KachelX + 1 24161 KachelY 25436 1.49122107 -1.22182763 85.440674 -70.005566
    Unten links KachelX 24160 KachelY + 1 25437 1.49102933 -1.22189319 85.429688 -70.009323
    Unten rechts KachelX + 1 24161 KachelY + 1 25437 1.49122107 -1.22189319 85.440674 -70.009323
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22182763--1.22189319) × R
    6.55600000001311e-05 × 6371000     		dl = 417.682760000835m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22182763--1.22189319) × R
    6.55600000001311e-05 × 6371000     		dr = 417.682760000835m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.49102933-1.49122107) × cos(-1.22182763) × R
    0.000191739999999996 × 0.341928847186946 × 6371000     		do = 417.691916143962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.49102933-1.49122107) × cos(-1.22189319) × R
    0.000191739999999996 × 0.341867238025778 × 6371000     		du = 417.616655899639m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22182763)-sin(-1.22189319))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341928847186946-0.341867238025778)×R²
    abs(1.49122107-1.49102933)×6.16091611682634e-05×R²
    0.000191739999999996×6.16091611682634e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.16091611682634e-05×40589641000000     		ar = 174446.994974104m²