Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 2416 / 4016
↖ ↑ ↗
← N 67.204033°
W126.914063°		 ← 946.65 m → N 67.204033°
W126.892090°		 →
↑
946.86 m
↓
↑
946.86 m
↓
N 67.195517°
W126.914063°		 ← 946.98 m →
896 502 m²		 N 67.195517°
W126.892090°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2416 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4016 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.147491455078125 y=0.245147705078125 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.147491455078125 × 214)
    floor (0.147491455078125 × 16384)
    floor (2416.5)     		tx = 2416
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.245147705078125 × 214)
    floor (0.245147705078125 × 16384)
    floor (4016.5)     		ty = 4016
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2416 / 4016 ti = "14/2416/4016"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2416/4016.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2416 ÷ 214
    2416 ÷ 16384     		x = 0.1474609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4016 ÷ 214
    4016 ÷ 16384     		y = 0.2451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.1474609375 × 2 - 1) × π
    -0.705078125 × 3.1415926535     		Λ = -2.21506826
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.2451171875 × 2 - 1) × π
    0.509765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.60147594250684
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.21506826} λ = -2.21506826}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.60147594250684))-π/2
    2×atan(4.96034821300164)-π/2
    2×1.37186398089313-π/2
    2.74372796178627-1.57079632675     		φ = 1.17293164
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.21506826} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -126.914063°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17293164 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.204033°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2416 KachelY 4016 -2.21506826 1.17293164 -126.914063 67.204033
    Oben rechts KachelX + 1 2417 KachelY 4016 -2.21468476 1.17293164 -126.892090 67.204033
    Unten links KachelX 2416 KachelY + 1 4017 -2.21506826 1.17278302 -126.914063 67.195517
    Unten rechts KachelX + 1 2417 KachelY + 1 4017 -2.21468476 1.17278302 -126.892090 67.195517
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17293164-1.17278302) × R
    0.000148620000000044 × 6371000     		dl = 946.858020000279m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17293164-1.17278302) × R
    0.000148620000000044 × 6371000     		dr = 946.858020000279m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.21506826--2.21468476) × cos(1.17293164) × R
    0.00038349999999987 × 0.387450702311745 × 6371000     		do = 946.649970767866m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.21506826--2.21468476) × cos(1.17278302) × R
    0.00038349999999987 × 0.387587709387021 × 6371000     		du = 946.984717209236m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17293164)-sin(1.17278302))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387450702311745-0.387587709387021)×R²
    abs(-2.21468476--2.21506826)×0.000137007075276363×R²
    0.00038349999999987×0.000137007075276363×6371000²
    0.00038349999999987×0.000137007075276363×40589641000000     		ar = 896501.597279823m²