Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24157 / 25450
↖ ↑ ↗
← S 70.058092°
E 85.396728°		 ← 416.66 m → S 70.058092°
E 85.407715°		 →
↑
416.60 m
↓
↑
416.60 m
↓
S 70.061838°
E 85.396728°		 ← 416.59 m →
173 565 m²		 S 70.061838°
E 85.407715°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24157 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25450 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.737228393554688 y=0.776687622070312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.737228393554688 × 215)
    floor (0.737228393554688 × 32768)
    floor (24157.5)     		tx = 24157
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776687622070312 × 215)
    floor (0.776687622070312 × 32768)
    floor (25450.5)     		ty = 25450
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24157 / 25450 ti = "15/24157/25450"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24157/25450.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24157 ÷ 215
    24157 ÷ 32768     		x = 0.737213134765625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25450 ÷ 215
    25450 ÷ 32768     		y = 0.77667236328125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.737213134765625 × 2 - 1) × π
    0.47442626953125 × 3.1415926535     		Λ = 1.49045408
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77667236328125 × 2 - 1) × π
    -0.5533447265625 × 3.1415926535     		Φ = -1.73838372782172
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.49045408} λ = 1.49045408}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73838372782172))-π/2
    2×atan(0.175804318739909)-π/2
    2×0.17402597814991-π/2
    0.348051956299819-1.57079632675     		φ = -1.22274437
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.49045408} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 85.396728°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22274437 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.058092°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24157 KachelY 25450 1.49045408 -1.22274437 85.396728 -70.058092
    Oben rechts KachelX + 1 24158 KachelY 25450 1.49064583 -1.22274437 85.407715 -70.058092
    Unten links KachelX 24157 KachelY + 1 25451 1.49045408 -1.22280976 85.396728 -70.061838
    Unten rechts KachelX + 1 24158 KachelY + 1 25451 1.49064583 -1.22280976 85.407715 -70.061838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22274437--1.22280976) × R
    6.5390000000054e-05 × 6371000     		dl = 416.599690000344m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22274437--1.22280976) × R
    6.5390000000054e-05 × 6371000     		dr = 416.599690000344m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.49045408-1.49064583) × cos(-1.22274437) × R
    0.000191750000000157 × 0.341067219356032 × 6371000     		do = 416.661102054029m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.49045408-1.49064583) × cos(-1.22280976) × R
    0.000191750000000157 × 0.341005749482589 × 6371000     		du = 416.586008043939m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22274437)-sin(-1.22280976))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.341067219356032-0.341005749482589)×R²
    abs(1.49064583-1.49045408)×6.14698734425767e-05×R²
    0.000191750000000157×6.14698734425767e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.14698734425767e-05×40589641000000     		ar = 173565.243942139m²