Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
14 / 2415 / 4015
↖ ↑ ↗
← N 67.212544°
W126.936035°		 ← 946.29 m → N 67.212544°
W126.914063°		 →
↑
946.41 m
↓
↑
946.41 m
↓
N 67.204033°
W126.936035°		 ← 946.63 m →
895 739 m²		 N 67.204033°
W126.914063°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2415 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 4015 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.147430419921875 y=0.245086669921875 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.147430419921875 × 214)
    floor (0.147430419921875 × 16384)
    floor (2415.5)     		tx = 2415
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.245086669921875 × 214)
    floor (0.245086669921875 × 16384)
    floor (4015.5)     		ty = 4015
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 2415 / 4015 ti = "14/2415/4015"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/2415/4015.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2415 ÷ 214
    2415 ÷ 16384     		x = 0.14739990234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 4015 ÷ 214
    4015 ÷ 16384     		y = 0.24505615234375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.14739990234375 × 2 - 1) × π
    -0.7052001953125 × 3.1415926535     		Λ = -2.21545175
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.24505615234375 × 2 - 1) × π
    0.5098876953125 × 3.1415926535     		Φ = 1.6018594377038
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.21545175} λ = -2.21545175}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.6018594377038))-π/2
    2×atan(4.96225084751886)-π/2
    2×1.37193826050424-π/2
    2.74387652100848-1.57079632675     		φ = 1.17308019
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.21545175} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -126.936035°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.17308019 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 67.212544°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2415 KachelY 4015 -2.21545175 1.17308019 -126.936035 67.212544
    Oben rechts KachelX + 1 2416 KachelY 4015 -2.21506826 1.17308019 -126.914063 67.212544
    Unten links KachelX 2415 KachelY + 1 4016 -2.21545175 1.17293164 -126.936035 67.204033
    Unten rechts KachelX + 1 2416 KachelY + 1 4016 -2.21506826 1.17293164 -126.914063 67.204033
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.17308019-1.17293164) × R
    0.000148550000000025 × 6371000     		dl = 946.41205000016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.17308019-1.17293164) × R
    0.000148550000000025 × 6371000     		dr = 946.41205000016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.21545175--2.21506826) × cos(1.17308019) × R
    0.000383490000000375 × 0.387313751214853 × 6371000     		do = 946.290685339435m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.21545175--2.21506826) × cos(1.17293164) × R
    0.000383490000000375 × 0.387450702311745 × 6371000     		du = 946.625286284867m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.17308019)-sin(1.17293164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.387313751214853-0.387450702311745)×R²
    abs(-2.21506826--2.21545175)×0.000136951096891658×R²
    0.000383490000000375×0.000136951096891658×6371000²
    0.000383490000000375×0.000136951096891658×40589641000000     		ar = 895739.244239564m²