Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24147 / 40788
↖ ↑ ↗
← S 40.262761°
W 47.356567°		 ← 466.09 m → S 40.262761°
W 47.351074°		 →
↑
466.10 m
↓
↑
466.10 m
↓
S 40.266952°
W 47.356567°		 ← 466.06 m →
217 237 m²		 S 40.266952°
W 47.351074°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24147 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.368461608886719 y=0.622383117675781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.368461608886719 × 216)
    floor (0.368461608886719 × 65536)
    floor (24147.5)     		tx = 24147
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.622383117675781 × 216)
    floor (0.622383117675781 × 65536)
    floor (40788.5)     		ty = 40788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24147 / 40788 ti = "16/24147/40788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24147/40788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24147 ÷ 216
    24147 ÷ 65536     		x = 0.368453979492188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40788 ÷ 216
    40788 ÷ 65536     		y = 0.62237548828125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.368453979492188 × 2 - 1) × π
    -0.263092041015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.82652802
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.62237548828125 × 2 - 1) × π
    -0.2447509765625 × 3.1415926535     		Φ = -0.768907869905701
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82652802} λ = -0.82652802}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.768907869905701))-π/2
    2×atan(0.463519015046724)-π/2
    2×0.43403929363796-π/2
    0.868078587275919-1.57079632675     		φ = -0.70271774
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82652802} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.356567°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.70271774 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.262761°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24147 KachelY 40788 -0.82652802 -0.70271774 -47.356567 -40.262761
    Oben rechts KachelX + 1 24148 KachelY 40788 -0.82643215 -0.70271774 -47.351074 -40.262761
    Unten links KachelX 24147 KachelY + 1 40789 -0.82652802 -0.70279090 -47.356567 -40.266952
    Unten rechts KachelX + 1 24148 KachelY + 1 40789 -0.82643215 -0.70279090 -47.351074 -40.266952
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.70271774--0.70279090) × R
    7.31600000000165e-05 × 6371000     		dl = 466.102360000105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.70271774--0.70279090) × R
    7.31600000000165e-05 × 6371000     		dr = 466.102360000105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82652802--0.82643215) × cos(-0.70271774) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.763088548659665 × 6371000     		do = 466.085152948363m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82652802--0.82643215) × cos(-0.70279090) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.763041263752318 × 6371000     		du = 466.05627190525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.70271774)-sin(-0.70279090))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.763088548659665-0.763041263752318)×R²
    abs(-0.82643215--0.82652802)×4.72849073477333e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.72849073477333e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.72849073477333e-05×40589641000000     		ar = 217236.659086202m²