Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24144 / 25431
↖ ↑ ↗
← S 69.986775°
E 85.253906°		 ← 418.09 m → S 69.986775°
E 85.264892°		 →
↑
418.07 m
↓
↑
418.07 m
↓
S 69.990535°
E 85.253906°		 ← 418.01 m →
174 773 m²		 S 69.990535°
E 85.264892°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24144 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25431 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.736831665039062 y=0.776107788085938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.736831665039062 × 215)
    floor (0.736831665039062 × 32768)
    floor (24144.5)     		tx = 24144
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.776107788085938 × 215)
    floor (0.776107788085938 × 32768)
    floor (25431.5)     		ty = 25431
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24144 / 25431 ti = "15/24144/25431"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24144/25431.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24144 ÷ 215
    24144 ÷ 32768     		x = 0.73681640625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25431 ÷ 215
    25431 ÷ 32768     		y = 0.776092529296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.73681640625 × 2 - 1) × π
    0.4736328125 × 3.1415926535     		Λ = 1.48796136
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.776092529296875 × 2 - 1) × π
    -0.55218505859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.73474052345059
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.48796136} λ = 1.48796136}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.73474052345059))-π/2
    2×atan(0.176445977940482)-π/2
    2×0.174648331876845-π/2
    0.349296663753691-1.57079632675     		φ = -1.22149966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.48796136} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 85.253906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22149966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -69.986775°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24144 KachelY 25431 1.48796136 -1.22149966 85.253906 -69.986775
    Oben rechts KachelX + 1 24145 KachelY 25431 1.48815311 -1.22149966 85.264892 -69.986775
    Unten links KachelX 24144 KachelY + 1 25432 1.48796136 -1.22156528 85.253906 -69.990535
    Unten rechts KachelX + 1 24145 KachelY + 1 25432 1.48815311 -1.22156528 85.264892 -69.990535
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22149966--1.22156528) × R
    6.56199999999885e-05 × 6371000     		dl = 418.065019999927m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22149966--1.22156528) × R
    6.56199999999885e-05 × 6371000     		dr = 418.065019999927m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.48796136-1.48815311) × cos(-1.22149966) × R
    0.000191750000000157 × 0.342237030677081 × 6371000     		do = 418.090189478919m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.48796136-1.48815311) × cos(-1.22156528) × R
    0.000191750000000157 × 0.342175372492454 × 6371000     		du = 418.014865420495m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22149966)-sin(-1.22156528))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.342237030677081-0.342175372492454)×R²
    abs(1.48815311-1.48796136)×6.16581846269448e-05×R²
    0.000191750000000157×6.16581846269448e-05×6371000²
    0.000191750000000157×6.16581846269448e-05×40589641000000     		ar = 174773.138311924m²