Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24135 / 25498
↖ ↑ ↗
← S 70.237176°
E 85.155030°		 ← 413.05 m → S 70.237176°
E 85.166015°		 →
↑
413.03 m
↓
↑
413.03 m
↓
S 70.240890°
E 85.155030°		 ← 412.97 m →
170 587 m²		 S 70.240890°
E 85.166015°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24135 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25498 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.736557006835938 y=0.778152465820312 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.736557006835938 × 215)
    floor (0.736557006835938 × 32768)
    floor (24135.5)     		tx = 24135
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778152465820312 × 215)
    floor (0.778152465820312 × 32768)
    floor (25498.5)     		ty = 25498
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24135 / 25498 ti = "15/24135/25498"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24135/25498.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24135 ÷ 215
    24135 ÷ 32768     		x = 0.736541748046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25498 ÷ 215
    25498 ÷ 32768     		y = 0.77813720703125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.736541748046875 × 2 - 1) × π
    0.47308349609375 × 3.1415926535     		Λ = 1.48623564
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77813720703125 × 2 - 1) × π
    -0.5562744140625 × 3.1415926535     		Φ = -1.74758761254877
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.48623564} λ = 1.48623564}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74758761254877))-π/2
    2×atan(0.174193659586397)-π/2
    2×0.172463179451333-π/2
    0.344926358902666-1.57079632675     		φ = -1.22586997
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.48623564} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 85.155030°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22586997 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.237176°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24135 KachelY 25498 1.48623564 -1.22586997 85.155030 -70.237176
    Oben rechts KachelX + 1 24136 KachelY 25498 1.48642738 -1.22586997 85.166015 -70.237176
    Unten links KachelX 24135 KachelY + 1 25499 1.48623564 -1.22593480 85.155030 -70.240890
    Unten rechts KachelX + 1 24136 KachelY + 1 25499 1.48642738 -1.22593480 85.166015 -70.240890
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22586997--1.22593480) × R
    6.48300000001267e-05 × 6371000     		dl = 413.031930000807m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22586997--1.22593480) × R
    6.48300000001267e-05 × 6371000     		dr = 413.031930000807m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.48623564-1.48642738) × cos(-1.22586997) × R
    0.000191739999999996 × 0.338127372518205 × 6371000     		do = 413.048127672699m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.48623564-1.48642738) × cos(-1.22593480) × R
    0.000191739999999996 × 0.338066360271609 × 6371000     		du = 412.973596604617m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22586997)-sin(-1.22593480))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338127372518205-0.338066360271609)×R²
    abs(1.48642738-1.48623564)×6.10122465957152e-05×R²
    0.000191739999999996×6.10122465957152e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.10122465957152e-05×40589641000000     		ar = 170586.673559586m²