Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24129 / 40641
↖ ↑ ↗
← S 39.643767°
W 47.455444°		 ← 470.32 m → S 39.643767°
W 47.449951°		 →
↑
470.37 m
↓
↑
470.37 m
↓
S 39.647998°
W 47.455444°		 ← 470.29 m →
221 219 m²		 S 39.647998°
W 47.449951°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24129 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40641 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.368186950683594 y=0.620140075683594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.368186950683594 × 216)
    floor (0.368186950683594 × 65536)
    floor (24129.5)     		tx = 24129
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.620140075683594 × 216)
    floor (0.620140075683594 × 65536)
    floor (40641.5)     		ty = 40641
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24129 / 40641 ti = "16/24129/40641"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24129/40641.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24129 ÷ 216
    24129 ÷ 65536     		x = 0.368179321289062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40641 ÷ 216
    40641 ÷ 65536     		y = 0.620132446289062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.368179321289062 × 2 - 1) × π
    -0.263641357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.82825375
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.620132446289062 × 2 - 1) × π
    -0.240264892578125 × 3.1415926535     		Φ = -0.754814421417404
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.82825375} λ = -0.82825375}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.754814421417404))-π/2
    2×atan(0.47009784672817)-π/2
    2×0.439441027379997-π/2
    0.878882054759994-1.57079632675     		φ = -0.69191427
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.82825375} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.455444°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.69191427 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -39.643767°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24129 KachelY 40641 -0.82825375 -0.69191427 -47.455444 -39.643767
    Oben rechts KachelX + 1 24130 KachelY 40641 -0.82815788 -0.69191427 -47.449951 -39.643767
    Unten links KachelX 24129 KachelY + 1 40642 -0.82825375 -0.69198810 -47.455444 -39.647998
    Unten rechts KachelX + 1 24130 KachelY + 1 40642 -0.82815788 -0.69198810 -47.449951 -39.647998
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.69191427--0.69198810) × R
    7.38299999999414e-05 × 6371000     		dl = 470.370929999627m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.69191427--0.69198810) × R
    7.38299999999414e-05 × 6371000     		dr = 470.370929999627m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.82825375--0.82815788) × cos(-0.69191427) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.770026098621537 × 6371000     		do = 470.322523618838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.82825375--0.82815788) × cos(-0.69198810) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.769978992068307 × 6371000     		du = 470.293751512238m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.69191427)-sin(-0.69198810))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.770026098621537-0.769978992068307)×R²
    abs(-0.82815788--0.82825375)×4.71065532304804e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.71065532304804e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.71065532304804e-05×40589641000000     		ar = 221219.276153526m²