Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24127 / 25492
↖ ↑ ↗
← S 70.214875°
E 85.067139°		 ← 413.50 m → S 70.214875°
E 85.078125°		 →
↑
413.48 m
↓
↑
413.48 m
↓
S 70.218593°
E 85.067139°		 ← 413.42 m →
170 956 m²		 S 70.218593°
E 85.078125°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24127 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25492 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.736312866210938 y=0.777969360351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.736312866210938 × 215)
    floor (0.736312866210938 × 32768)
    floor (24127.5)     		tx = 24127
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777969360351562 × 215)
    floor (0.777969360351562 × 32768)
    floor (25492.5)     		ty = 25492
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24127 / 25492 ti = "15/24127/25492"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24127/25492.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24127 ÷ 215
    24127 ÷ 32768     		x = 0.736297607421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25492 ÷ 215
    25492 ÷ 32768     		y = 0.7779541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.736297607421875 × 2 - 1) × π
    0.47259521484375 × 3.1415926535     		Λ = 1.48470166
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7779541015625 × 2 - 1) × π
    -0.555908203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.74643712695789
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.48470166} λ = 1.48470166}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74643712695789))-π/2
    2×atan(0.17439418220885)-π/2
    2×0.172657790118199-π/2
    0.345315580236398-1.57079632675     		φ = -1.22548075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.48470166} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 85.067139°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22548075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.214875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24127 KachelY 25492 1.48470166 -1.22548075 85.067139 -70.214875
    Oben rechts KachelX + 1 24128 KachelY 25492 1.48489340 -1.22548075 85.078125 -70.214875
    Unten links KachelX 24127 KachelY + 1 25493 1.48470166 -1.22554565 85.067139 -70.218593
    Unten rechts KachelX + 1 24128 KachelY + 1 25493 1.48489340 -1.22554565 85.078125 -70.218593
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22548075--1.22554565) × R
    6.48999999999234e-05 × 6371000     		dl = 413.477899999512m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22548075--1.22554565) × R
    6.48999999999234e-05 × 6371000     		dr = 413.477899999512m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.48470166-1.48489340) × cos(-1.22548075) × R
    0.000191739999999996 × 0.338493641977666 × 6371000     		do = 413.495553485424m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.48470166-1.48489340) × cos(-1.22554565) × R
    0.000191739999999996 × 0.33843257239759 × 6371000     		du = 413.420952380166m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22548075)-sin(-1.22554565))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338493641977666-0.33843257239759)×R²
    abs(1.48489340-1.48470166)×6.10695800755678e-05×R²
    0.000191739999999996×6.10695800755678e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.10695800755678e-05×40589641000000     		ar = 170955.850219534m²