Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
15 / 24114 / 25488
↖ ↑ ↗
← S 70.199994°
E 84.924317°		 ← 413.79 m → S 70.199994°
E 84.935303°		 →
↑
413.80 m
↓
↑
413.80 m
↓
S 70.203715°
E 84.924317°		 ← 413.72 m →
171 211 m²		 S 70.203715°
E 84.935303°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24114 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.735916137695312 y=0.777847290039062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.735916137695312 × 215)
    floor (0.735916137695312 × 32768)
    floor (24114.5)     		tx = 24114
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777847290039062 × 215)
    floor (0.777847290039062 × 32768)
    floor (25488.5)     		ty = 25488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24114 / 25488 ti = "15/24114/25488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24114/25488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24114 ÷ 215
    24114 ÷ 32768     		x = 0.73590087890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25488 ÷ 215
    25488 ÷ 32768     		y = 0.77783203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.73590087890625 × 2 - 1) × π
    0.4718017578125 × 3.1415926535     		Λ = 1.48220894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77783203125 × 2 - 1) × π
    -0.5556640625 × 3.1415926535     		Φ = -1.74567013656396
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.48220894} λ = 1.48220894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74567013656396))-π/2
    2×atan(0.174527992180282)-π/2
    2×0.172787647658244-π/2
    0.345575295316487-1.57079632675     		φ = -1.22522103
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.48220894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 84.924317°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22522103 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.199994°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24114 KachelY 25488 1.48220894 -1.22522103 84.924317 -70.199994
    Oben rechts KachelX + 1 24115 KachelY 25488 1.48240068 -1.22522103 84.935303 -70.199994
    Unten links KachelX 24114 KachelY + 1 25489 1.48220894 -1.22528598 84.924317 -70.203715
    Unten rechts KachelX + 1 24115 KachelY + 1 25489 1.48240068 -1.22528598 84.935303 -70.203715
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22522103--1.22528598) × R
    6.49500000000636e-05 × 6371000     		dl = 413.796450000405m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22522103--1.22528598) × R
    6.49500000000636e-05 × 6371000     		dr = 413.796450000405m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.48220894-1.48240068) × cos(-1.22522103) × R
    0.000191739999999996 × 0.3387380189437 × 6371000     		do = 413.794078409672m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.48220894-1.48240068) × cos(-1.22528598) × R
    0.000191739999999996 × 0.338676908025624 × 6371000     		du = 413.719426806923m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22522103)-sin(-1.22528598))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.3387380189437-0.338676908025624)×R²
    abs(1.48240068-1.48220894)×6.1110918076368e-05×R²
    0.000191739999999996×6.1110918076368e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.1110918076368e-05×40589641000000     		ar = 171211.075453158m²