Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24113 / 25492
↖ ↑ ↗
← S 70.214875°
E 84.913330°		 ← 413.52 m → S 70.214875°
E 84.924317°		 →
↑
413.48 m
↓
↑
413.48 m
↓
S 70.218593°
E 84.913330°		 ← 413.44 m →
170 965 m²		 S 70.218593°
E 84.924317°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24113 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25492 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.735885620117188 y=0.777969360351562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.735885620117188 × 215)
    floor (0.735885620117188 × 32768)
    floor (24113.5)     		tx = 24113
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.777969360351562 × 215)
    floor (0.777969360351562 × 32768)
    floor (25492.5)     		ty = 25492
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24113 / 25492 ti = "15/24113/25492"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24113/25492.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24113 ÷ 215
    24113 ÷ 32768     		x = 0.735870361328125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25492 ÷ 215
    25492 ÷ 32768     		y = 0.7779541015625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.735870361328125 × 2 - 1) × π
    0.47174072265625 × 3.1415926535     		Λ = 1.48201719
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7779541015625 × 2 - 1) × π
    -0.555908203125 × 3.1415926535     		Φ = -1.74643712695789
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.48201719} λ = 1.48201719}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74643712695789))-π/2
    2×atan(0.17439418220885)-π/2
    2×0.172657790118199-π/2
    0.345315580236398-1.57079632675     		φ = -1.22548075
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.48201719} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 84.913330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22548075 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.214875°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24113 KachelY 25492 1.48201719 -1.22548075 84.913330 -70.214875
    Oben rechts KachelX + 1 24114 KachelY 25492 1.48220894 -1.22548075 84.924317 -70.214875
    Unten links KachelX 24113 KachelY + 1 25493 1.48201719 -1.22554565 84.913330 -70.218593
    Unten rechts KachelX + 1 24114 KachelY + 1 25493 1.48220894 -1.22554565 84.924317 -70.218593
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22548075--1.22554565) × R
    6.48999999999234e-05 × 6371000     		dl = 413.477899999512m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22548075--1.22554565) × R
    6.48999999999234e-05 × 6371000     		dr = 413.477899999512m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.48201719-1.48220894) × cos(-1.22548075) × R
    0.000191749999999935 × 0.338493641977666 × 6371000     		do = 413.517118915224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.48201719-1.48220894) × cos(-1.22554565) × R
    0.000191749999999935 × 0.33843257239759 × 6371000     		du = 413.442513919222m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22548075)-sin(-1.22554565))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.338493641977666-0.33843257239759)×R²
    abs(1.48220894-1.48201719)×6.10695800755678e-05×R²
    0.000191749999999935×6.10695800755678e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.10695800755678e-05×40589641000000     		ar = 170964.766243795m²