Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24106 / 25510
↖ ↑ ↗
← S 70.281705°
E 84.836426°		 ← 412.15 m → S 70.281705°
E 84.847412°		 →
↑
412.14 m
↓
↑
412.14 m
↓
S 70.285411°
E 84.836426°		 ← 412.08 m →
169 850 m²		 S 70.285411°
E 84.847412°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24106 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25510 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.735671997070312 y=0.778518676757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.735671997070312 × 215)
    floor (0.735671997070312 × 32768)
    floor (24106.5)     		tx = 24106
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.778518676757812 × 215)
    floor (0.778518676757812 × 32768)
    floor (25510.5)     		ty = 25510
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24106 / 25510 ti = "15/24106/25510"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24106/25510.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24106 ÷ 215
    24106 ÷ 32768     		x = 0.73565673828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25510 ÷ 215
    25510 ÷ 32768     		y = 0.77850341796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.73565673828125 × 2 - 1) × π
    0.4713134765625 × 3.1415926535     		Λ = 1.48067496
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77850341796875 × 2 - 1) × π
    -0.5570068359375 × 3.1415926535     		Φ = -1.74988858373053
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.48067496} λ = 1.48067496}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.74988858373053))-π/2
    2×atan(0.173793305773574)-π/2
    2×0.172074589704937-π/2
    0.344149179409873-1.57079632675     		φ = -1.22664715
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.48067496} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 84.836426°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22664715 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.281705°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24106 KachelY 25510 1.48067496 -1.22664715 84.836426 -70.281705
    Oben rechts KachelX + 1 24107 KachelY 25510 1.48086670 -1.22664715 84.847412 -70.281705
    Unten links KachelX 24106 KachelY + 1 25511 1.48067496 -1.22671184 84.836426 -70.285411
    Unten rechts KachelX + 1 24107 KachelY + 1 25511 1.48086670 -1.22671184 84.847412 -70.285411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22664715--1.22671184) × R
    6.46900000000894e-05 × 6371000     		dl = 412.13999000057m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22664715--1.22671184) × R
    6.46900000000894e-05 × 6371000     		dr = 412.13999000057m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.48067496-1.48086670) × cos(-1.22664715) × R
    0.000191739999999996 × 0.337395866101262 × 6371000     		do = 412.154537326408m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.48067496-1.48086670) × cos(-1.22671184) × R
    0.000191739999999996 × 0.337334968632085 × 6371000     		du = 412.080146467613m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22664715)-sin(-1.22671184))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.337395866101262-0.337334968632085)×R²
    abs(1.48086670-1.48067496)×6.08974691777009e-05×R²
    0.000191739999999996×6.08974691777009e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.08974691777009e-05×40589641000000     		ar = 169850.037227786m²