Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24102 / 25534
↖ ↑ ↗
← S 70.370474°
E 84.792481°		 ← 410.37 m → S 70.370474°
E 84.803467°		 →
↑
410.36 m
↓
↑
410.36 m
↓
S 70.374164°
E 84.792481°		 ← 410.30 m →
168 384 m²		 S 70.374164°
E 84.803467°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24102 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25534 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.735549926757812 y=0.779251098632812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.735549926757812 × 215)
    floor (0.735549926757812 × 32768)
    floor (24102.5)     		tx = 24102
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779251098632812 × 215)
    floor (0.779251098632812 × 32768)
    floor (25534.5)     		ty = 25534
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24102 / 25534 ti = "15/24102/25534"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24102/25534.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24102 ÷ 215
    24102 ÷ 32768     		x = 0.73553466796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25534 ÷ 215
    25534 ÷ 32768     		y = 0.77923583984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.73553466796875 × 2 - 1) × π
    0.4710693359375 × 3.1415926535     		Λ = 1.47990797
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.77923583984375 × 2 - 1) × π
    -0.5584716796875 × 3.1415926535     		Φ = -1.75449052609406
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.47990797} λ = 1.47990797}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75449052609406))-π/2
    2×atan(0.172995356463843)-π/2
    2×0.171299931005505-π/2
    0.34259986201101-1.57079632675     		φ = -1.22819646
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.47990797} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 84.792481°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22819646 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.370474°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24102 KachelY 25534 1.47990797 -1.22819646 84.792481 -70.370474
    Oben rechts KachelX + 1 24103 KachelY 25534 1.48009971 -1.22819646 84.803467 -70.370474
    Unten links KachelX 24102 KachelY + 1 25535 1.47990797 -1.22826087 84.792481 -70.374164
    Unten rechts KachelX + 1 24103 KachelY + 1 25535 1.48009971 -1.22826087 84.803467 -70.374164
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22819646--1.22826087) × R
    6.44100000000147e-05 × 6371000     		dl = 410.356110000094m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22819646--1.22826087) × R
    6.44100000000147e-05 × 6371000     		dr = 410.356110000094m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.47990797-1.48009971) × cos(-1.22819646) × R
    0.000191739999999996 × 0.335936998859996 × 6371000     		do = 410.37242078837m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.47990797-1.48009971) × cos(-1.22826087) × R
    0.000191739999999996 × 0.335876331385237 × 6371000     		du = 410.29831088513m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22819646)-sin(-1.22826087))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335936998859996-0.335876331385237)×R²
    abs(1.48009971-1.47990797)×6.06674747596903e-05×R²
    0.000191739999999996×6.06674747596903e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.06674747596903e-05×40589641000000     		ar = 168383.624577692m²