Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24101 / 25574
↖ ↑ ↗
← S 70.517570°
E 84.781494°		 ← 407.44 m → S 70.517570°
E 84.792481°		 →
↑
407.43 m
↓
↑
407.43 m
↓
S 70.521234°
E 84.781494°		 ← 407.36 m →
165 986 m²		 S 70.521234°
E 84.792481°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24101 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25574 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.735519409179688 y=0.780471801757812 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.735519409179688 × 215)
    floor (0.735519409179688 × 32768)
    floor (24101.5)     		tx = 24101
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780471801757812 × 215)
    floor (0.780471801757812 × 32768)
    floor (25574.5)     		ty = 25574
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24101 / 25574 ti = "15/24101/25574"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24101/25574.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24101 ÷ 215
    24101 ÷ 32768     		x = 0.735504150390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25574 ÷ 215
    25574 ÷ 32768     		y = 0.78045654296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.735504150390625 × 2 - 1) × π
    0.47100830078125 × 3.1415926535     		Λ = 1.47971622
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.78045654296875 × 2 - 1) × π
    -0.5609130859375 × 3.1415926535     		Φ = -1.76216043003326
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.47971622} λ = 1.47971622}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76216043003326))-π/2
    2×atan(0.171673574149274)-π/2
    2×0.170016272447352-π/2
    0.340032544894705-1.57079632675     		φ = -1.23076378
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.47971622} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 84.781494°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23076378 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.517570°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24101 KachelY 25574 1.47971622 -1.23076378 84.781494 -70.517570
    Oben rechts KachelX + 1 24102 KachelY 25574 1.47990797 -1.23076378 84.792481 -70.517570
    Unten links KachelX 24101 KachelY + 1 25575 1.47971622 -1.23082773 84.781494 -70.521234
    Unten rechts KachelX + 1 24102 KachelY + 1 25575 1.47990797 -1.23082773 84.792481 -70.521234
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23076378--1.23082773) × R
    6.39499999999238e-05 × 6371000     		dl = 407.425449999514m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23076378--1.23082773) × R
    6.39499999999238e-05 × 6371000     		dr = 407.425449999514m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.47971622-1.47990797) × cos(-1.23076378) × R
    0.000191749999999935 × 0.333517775606915 × 6371000     		do = 407.438405253962m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.47971622-1.47990797) × cos(-1.23082773) × R
    0.000191749999999935 × 0.33345748645826 × 6371000     		du = 407.364753663615m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23076378)-sin(-1.23082773))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.333517775606915-0.33345748645826)×R²
    abs(1.47990797-1.47971622)×6.0289148655801e-05×R²
    0.000191749999999935×6.0289148655801e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.0289148655801e-05×40589641000000     		ar = 165985.771898006m²