Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24099 / 25629
↖ ↑ ↗
← S 70.718099°
E 84.759521°		 ← 403.41 m → S 70.718099°
E 84.770508°		 →
↑
403.35 m
↓
↑
403.35 m
↓
S 70.721726°
E 84.759521°		 ← 403.33 m →
162 698 m²		 S 70.721726°
E 84.770508°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24099 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25629 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.735458374023438 y=0.782150268554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.735458374023438 × 215)
    floor (0.735458374023438 × 32768)
    floor (24099.5)     		tx = 24099
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782150268554688 × 215)
    floor (0.782150268554688 × 32768)
    floor (25629.5)     		ty = 25629
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24099 / 25629 ti = "15/24099/25629"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24099/25629.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24099 ÷ 215
    24099 ÷ 32768     		x = 0.735443115234375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25629 ÷ 215
    25629 ÷ 32768     		y = 0.782135009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.735443115234375 × 2 - 1) × π
    0.47088623046875 × 3.1415926535     		Λ = 1.47933272
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.782135009765625 × 2 - 1) × π
    -0.56427001953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.77270654794968
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.47933272} λ = 1.47933272}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77270654794968))-π/2
    2×atan(0.169872597740062)-π/2
    2×0.16826633078815-π/2
    0.3365326615763-1.57079632675     		φ = -1.23426367
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.47933272} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 84.759521°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23426367 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.718099°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24099 KachelY 25629 1.47933272 -1.23426367 84.759521 -70.718099
    Oben rechts KachelX + 1 24100 KachelY 25629 1.47952447 -1.23426367 84.770508 -70.718099
    Unten links KachelX 24099 KachelY + 1 25630 1.47933272 -1.23432698 84.759521 -70.721726
    Unten rechts KachelX + 1 24100 KachelY + 1 25630 1.47952447 -1.23432698 84.770508 -70.721726
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23426367--1.23432698) × R
    6.33100000000386e-05 × 6371000     		dl = 403.348010000246m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23426367--1.23432698) × R
    6.33100000000386e-05 × 6371000     		dr = 403.348010000246m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.47933272-1.47952447) × cos(-1.23426367) × R
    0.000191750000000157 × 0.330216240040072 × 6371000     		do = 403.405119820704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.47933272-1.47952447) × cos(-1.23432698) × R
    0.000191750000000157 × 0.330156480733137 × 6371000     		du = 403.3321155058m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23426367)-sin(-1.23432698))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330216240040072-0.330156480733137)×R²
    abs(1.47952447-1.47933272)×5.97593069343594e-05×R²
    0.000191750000000157×5.97593069343594e-05×6371000²
    0.000191750000000157×5.97593069343594e-05×40589641000000     		ar = 162697.929285583m²