Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24098 / 30175
↖ ↑ ↗
← N 14.099285°
W 47.625732°		 ← 592.39 m → N 14.099285°
W 47.620240°		 →
↑
592.38 m
↓
↑
592.38 m
↓
N 14.093957°
W 47.625732°		 ← 592.40 m →
350 920 m²		 N 14.093957°
W 47.620240°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24098 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30175 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367713928222656 y=0.460441589355469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367713928222656 × 216)
    floor (0.367713928222656 × 65536)
    floor (24098.5)     		tx = 24098
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.460441589355469 × 216)
    floor (0.460441589355469 × 65536)
    floor (30175.5)     		ty = 30175
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24098 / 30175 ti = "16/24098/30175"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24098/30175.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24098 ÷ 216
    24098 ÷ 65536     		x = 0.367706298828125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30175 ÷ 216
    30175 ÷ 65536     		y = 0.460433959960938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.367706298828125 × 2 - 1) × π
    -0.26458740234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.83122584
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.460433959960938 × 2 - 1) × π
    0.079132080078125 × 3.1415926535     		Φ = 0.248600761429611
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83122584} λ = -0.83122584}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.248600761429611))-π/2
    2×atan(1.2822300151898)-π/2
    2×0.908437635434215-π/2
    1.81687527086843-1.57079632675     		φ = 0.24607894
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83122584} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.625732°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24607894 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.099285°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24098 KachelY 30175 -0.83122584 0.24607894 -47.625732 14.099285
    Oben rechts KachelX + 1 24099 KachelY 30175 -0.83112997 0.24607894 -47.620240 14.099285
    Unten links KachelX 24098 KachelY + 1 30176 -0.83122584 0.24598596 -47.625732 14.093957
    Unten rechts KachelX + 1 24099 KachelY + 1 30176 -0.83112997 0.24598596 -47.620240 14.093957
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24607894-0.24598596) × R
    9.29799999999925e-05 × 6371000     		dl = 592.375579999952m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24607894-0.24598596) × R
    9.29799999999925e-05 × 6371000     		dr = 592.375579999952m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83122584--0.83112997) × cos(0.24607894) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.969875056628378 × 6371000     		do = 592.387823016658m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83122584--0.83112997) × cos(0.24598596) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.96989770263388 × 6371000     		du = 592.401654919858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24607894)-sin(0.24598596))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.969875056628378-0.96989770263388)×R²
    abs(-0.83112997--0.83122584)×2.26460055017252e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.26460055017252e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.26460055017252e-05×40589641000000     		ar = 350920.177338069m²