Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24097 / 25565
↖ ↑ ↗
← S 70.484566°
E 84.737549°		 ← 408.08 m → S 70.484566°
E 84.748535°		 →
↑
408.06 m
↓
↑
408.06 m
↓
S 70.488236°
E 84.737549°		 ← 408.01 m →
166 507 m²		 S 70.488236°
E 84.748535°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24097 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25565 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.735397338867188 y=0.780197143554688 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.735397338867188 × 215)
    floor (0.735397338867188 × 32768)
    floor (24097.5)     		tx = 24097
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.780197143554688 × 215)
    floor (0.780197143554688 × 32768)
    floor (25565.5)     		ty = 25565
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24097 / 25565 ti = "15/24097/25565"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24097/25565.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24097 ÷ 215
    24097 ÷ 32768     		x = 0.735382080078125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25565 ÷ 215
    25565 ÷ 32768     		y = 0.780181884765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.735382080078125 × 2 - 1) × π
    0.47076416015625 × 3.1415926535     		Λ = 1.47894923
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.780181884765625 × 2 - 1) × π
    -0.56036376953125 × 3.1415926535     		Φ = -1.76043470164694
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.47894923} λ = 1.47894923}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.76043470164694))-π/2
    2×atan(0.171970091890317)-π/2
    2×0.170304287201171-π/2
    0.340608574402342-1.57079632675     		φ = -1.23018775
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.47894923} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 84.737549°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23018775 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.484566°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24097 KachelY 25565 1.47894923 -1.23018775 84.737549 -70.484566
    Oben rechts KachelX + 1 24098 KachelY 25565 1.47914097 -1.23018775 84.748535 -70.484566
    Unten links KachelX 24097 KachelY + 1 25566 1.47894923 -1.23025180 84.737549 -70.488236
    Unten rechts KachelX + 1 24098 KachelY + 1 25566 1.47914097 -1.23025180 84.748535 -70.488236
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23018775--1.23025180) × R
    6.40499999999822e-05 × 6371000     		dl = 408.062549999886m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23018775--1.23025180) × R
    6.40499999999822e-05 × 6371000     		dr = 408.062549999886m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.47894923-1.47914097) × cos(-1.23018775) × R
    0.000191739999999996 × 0.334060768962029 × 6371000     		do = 408.080464237597m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.47894923-1.47914097) × cos(-1.23025180) × R
    0.000191739999999996 × 0.334000397850807 × 6371000     		du = 408.006716364805m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23018775)-sin(-1.23025180))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.334060768962029-0.334000397850807)×R²
    abs(1.47914097-1.47894923)×6.03711112224792e-05×R²
    0.000191739999999996×6.03711112224792e-05×6371000²
    0.000191739999999996×6.03711112224792e-05×40589641000000     		ar = 166507.308026567m²