Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24096 / 28192
↖ ↑ ↗
← N 24.367114°
W 47.636719°		 ← 556.44 m → N 24.367114°
W 47.631225°		 →
↑
556.38 m
↓
↑
556.38 m
↓
N 24.362110°
W 47.636719°		 ← 556.46 m →
309 596 m²		 N 24.362110°
W 47.631225°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24096 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28192 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367683410644531 y=0.430183410644531 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367683410644531 × 216)
    floor (0.367683410644531 × 65536)
    floor (24096.5)     		tx = 24096
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.430183410644531 × 216)
    floor (0.430183410644531 × 65536)
    floor (28192.5)     		ty = 28192
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24096 / 28192 ti = "16/24096/28192"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24096/28192.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24096 ÷ 216
    24096 ÷ 65536     		x = 0.36767578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28192 ÷ 216
    28192 ÷ 65536     		y = 0.43017578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36767578125 × 2 - 1) × π
    -0.2646484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.83141759
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.43017578125 × 2 - 1) × π
    0.1396484375 × 3.1415926535     		Φ = 0.438718505322754
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83141759} λ = -0.83141759}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.438718505322754))-π/2
    2×atan(1.55071870688116)-π/2
    2×0.998041343829552-π/2
    1.9960826876591-1.57079632675     		φ = 0.42528636
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83141759} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.636719°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42528636 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.367114°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24096 KachelY 28192 -0.83141759 0.42528636 -47.636719 24.367114
    Oben rechts KachelX + 1 24097 KachelY 28192 -0.83132171 0.42528636 -47.631225 24.367114
    Unten links KachelX 24096 KachelY + 1 28193 -0.83141759 0.42519903 -47.636719 24.362110
    Unten rechts KachelX + 1 24097 KachelY + 1 28193 -0.83132171 0.42519903 -47.631225 24.362110
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42528636-0.42519903) × R
    8.73299999999966e-05 × 6371000     		dl = 556.379429999978m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42528636-0.42519903) × R
    8.73299999999966e-05 × 6371000     		dr = 556.379429999978m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83141759--0.83132171) × cos(0.42528636) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.910920623423066 × 6371000     		do = 556.437210980782m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83141759--0.83132171) × cos(0.42519903) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.910956650704923 × 6371000     		du = 556.459218299225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42528636)-sin(0.42519903))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.910920623423066-0.910956650704923)×R²
    abs(-0.83132171--0.83141759)×3.60272818574758e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.60272818574758e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.60272818574758e-05×40589641000000     		ar = 309596.340682687m²