Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24095 / 25632
↖ ↑ ↗
← S 70.728980°
E 84.715576°		 ← 403.19 m → S 70.728980°
E 84.726563°		 →
↑
403.16 m
↓
↑
403.16 m
↓
S 70.732605°
E 84.715576°		 ← 403.11 m →
162 533 m²		 S 70.732605°
E 84.726563°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24095 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25632 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.735336303710938 y=0.782241821289062 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.735336303710938 × 215)
    floor (0.735336303710938 × 32768)
    floor (24095.5)     		tx = 24095
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.782241821289062 × 215)
    floor (0.782241821289062 × 32768)
    floor (25632.5)     		ty = 25632
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24095 / 25632 ti = "15/24095/25632"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24095/25632.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24095 ÷ 215
    24095 ÷ 32768     		x = 0.735321044921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25632 ÷ 215
    25632 ÷ 32768     		y = 0.7822265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.735321044921875 × 2 - 1) × π
    0.47064208984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.47856573
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7822265625 × 2 - 1) × π
    -0.564453125 × 3.1415926535     		Φ = -1.77328179074512
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.47856573} λ = 1.47856573}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.77328179074512))-π/2
    2×atan(0.169774907852465)-π/2
    2×0.168171379311371-π/2
    0.336342758622743-1.57079632675     		φ = -1.23445357
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.47856573} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 84.715576°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.23445357 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.728980°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24095 KachelY 25632 1.47856573 -1.23445357 84.715576 -70.728980
    Oben rechts KachelX + 1 24096 KachelY 25632 1.47875748 -1.23445357 84.726563 -70.728980
    Unten links KachelX 24095 KachelY + 1 25633 1.47856573 -1.23451685 84.715576 -70.732605
    Unten rechts KachelX + 1 24096 KachelY + 1 25633 1.47875748 -1.23451685 84.726563 -70.732605
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.23445357--1.23451685) × R
    6.32800000002209e-05 × 6371000     		dl = 403.156880001408m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.23445357--1.23451685) × R
    6.32800000002209e-05 × 6371000     		dr = 403.156880001408m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.47856573-1.47875748) × cos(-1.23445357) × R
    0.000191750000000157 × 0.330036986468592 × 6371000     		do = 403.186136622082m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.47856573-1.47875748) × cos(-1.23451685) × R
    0.000191750000000157 × 0.329977251512714 × 6371000     		du = 403.113162055383m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.23445357)-sin(-1.23451685))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.330036986468592-0.329977251512714)×R²
    abs(1.47875748-1.47856573)×5.9734955878632e-05×R²
    0.000191750000000157×5.9734955878632e-05×6371000²
    0.000191750000000157×5.9734955878632e-05×40589641000000     		ar = 162532.554854978m²