Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24094 / 30110
↖ ↑ ↗
← N 14.445320°
W 47.647705°		 ← 591.48 m → N 14.445320°
W 47.642212°		 →
↑
591.55 m
↓
↑
591.55 m
↓
N 14.440000°
W 47.647705°		 ← 591.49 m →
349 892 m²		 N 14.440000°
W 47.642212°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24094 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30110 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367652893066406 y=0.459449768066406 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367652893066406 × 216)
    floor (0.367652893066406 × 65536)
    floor (24094.5)     		tx = 24094
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.459449768066406 × 216)
    floor (0.459449768066406 × 65536)
    floor (30110.5)     		ty = 30110
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24094 / 30110 ti = "16/24094/30110"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24094/30110.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24094 ÷ 216
    24094 ÷ 65536     		x = 0.367645263671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30110 ÷ 216
    30110 ÷ 65536     		y = 0.459442138671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.367645263671875 × 2 - 1) × π
    -0.26470947265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.83160933
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.459442138671875 × 2 - 1) × π
    0.08111572265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.254832558380219
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83160933} λ = -0.83160933}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.254832558380219))-π/2
    2×atan(1.29024556197796)-π/2
    2×0.911457356588011-π/2
    1.82291471317602-1.57079632675     		φ = 0.25211839
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83160933} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.647705°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.25211839 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.445320°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24094 KachelY 30110 -0.83160933 0.25211839 -47.647705 14.445320
    Oben rechts KachelX + 1 24095 KachelY 30110 -0.83151346 0.25211839 -47.642212 14.445320
    Unten links KachelX 24094 KachelY + 1 30111 -0.83160933 0.25202554 -47.647705 14.440000
    Unten rechts KachelX + 1 24095 KachelY + 1 30111 -0.83151346 0.25202554 -47.642212 14.440000
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.25211839-0.25202554) × R
    9.28500000000332e-05 × 6371000     		dl = 591.547350000211m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.25211839-0.25202554) × R
    9.28500000000332e-05 × 6371000     		dr = 591.547350000211m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83160933--0.83151346) × cos(0.25211839) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.968386149996043 × 6371000     		do = 591.478417054956m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83160933--0.83151346) × cos(0.25202554) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.968409307805471 × 6371000     		du = 591.492561561734m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.25211839)-sin(0.25202554))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.968386149996043-0.968409307805471)×R²
    abs(-0.83151346--0.83160933)×2.31578094277429e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.31578094277429e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.31578094277429e-05×40589641000000     		ar = 349891.674015292m²