Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24092 / 25535
↖ ↑ ↗
← S 70.374164°
E 84.682617°		 ← 410.32 m → S 70.374164°
E 84.693604°		 →
↑
410.29 m
↓
↑
410.29 m
↓
S 70.377854°
E 84.682617°		 ← 410.25 m →
168 336 m²		 S 70.377854°
E 84.693604°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24092 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25535 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.735244750976562 y=0.779281616210938 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.735244750976562 × 215)
    floor (0.735244750976562 × 32768)
    floor (24092.5)     		tx = 24092
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779281616210938 × 215)
    floor (0.779281616210938 × 32768)
    floor (25535.5)     		ty = 25535
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24092 / 25535 ti = "15/24092/25535"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24092/25535.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24092 ÷ 215
    24092 ÷ 32768     		x = 0.7352294921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25535 ÷ 215
    25535 ÷ 32768     		y = 0.779266357421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.7352294921875 × 2 - 1) × π
    0.470458984375 × 3.1415926535     		Λ = 1.47799049
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.779266357421875 × 2 - 1) × π
    -0.55853271484375 × 3.1415926535     		Φ = -1.75468227369254
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.47799049} λ = 1.47799049}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75468227369254))-π/2
    2×atan(0.172962188199762)-π/2
    2×0.171267726357806-π/2
    0.342535452715612-1.57079632675     		φ = -1.22826087
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.47799049} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 84.682617°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22826087 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.374164°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24092 KachelY 25535 1.47799049 -1.22826087 84.682617 -70.374164
    Oben rechts KachelX + 1 24093 KachelY 25535 1.47818224 -1.22826087 84.693604 -70.374164
    Unten links KachelX 24092 KachelY + 1 25536 1.47799049 -1.22832527 84.682617 -70.377854
    Unten rechts KachelX + 1 24093 KachelY + 1 25536 1.47818224 -1.22832527 84.693604 -70.377854
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22826087--1.22832527) × R
    6.44000000000755e-05 × 6371000     		dl = 410.292400000481m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22826087--1.22832527) × R
    6.44000000000755e-05 × 6371000     		dr = 410.292400000481m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.47799049-1.47818224) × cos(-1.22826087) × R
    0.000191749999999935 × 0.335876331385237 × 6371000     		do = 410.319709566073m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.47799049-1.47818224) × cos(-1.22832527) × R
    0.000191749999999935 × 0.335815671936321 × 6371000     		du = 410.245605602395m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22826087)-sin(-1.22832527))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335876331385237-0.335815671936321)×R²
    abs(1.47818224-1.47799049)×6.06594489152013e-05×R²
    0.000191749999999935×6.06594489152013e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.06594489152013e-05×40589641000000     		ar = 168335.856317531m²