Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24091 / 30251
↖ ↑ ↗
← N 13.694025°
W 47.664185°		 ← 593.49 m → N 13.694025°
W 47.658691°		 →
↑
593.46 m
↓
↑
593.46 m
↓
N 13.688688°
W 47.664185°		 ← 593.50 m →
352 214 m²		 N 13.688688°
W 47.658691°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30251 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367607116699219 y=0.461601257324219 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367607116699219 × 216)
    floor (0.367607116699219 × 65536)
    floor (24091.5)     		tx = 24091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461601257324219 × 216)
    floor (0.461601257324219 × 65536)
    floor (30251.5)     		ty = 30251
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24091 / 30251 ti = "16/24091/30251"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24091/30251.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24091 ÷ 216
    24091 ÷ 65536     		x = 0.367599487304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30251 ÷ 216
    30251 ÷ 65536     		y = 0.461593627929688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.367599487304688 × 2 - 1) × π
    -0.264801025390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.83189696
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461593627929688 × 2 - 1) × π
    0.076812744140625 × 3.1415926535     		Φ = 0.241314352687363
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83189696} λ = -0.83189696}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.241314352687363))-π/2
    2×atan(1.27292111859574)-π/2
    2×0.904901074089072-π/2
    1.80980214817814-1.57079632675     		φ = 0.23900582
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83189696} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.664185°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23900582 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.694025°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24091 KachelY 30251 -0.83189696 0.23900582 -47.664185 13.694025
    Oben rechts KachelX + 1 24092 KachelY 30251 -0.83180108 0.23900582 -47.658691 13.694025
    Unten links KachelX 24091 KachelY + 1 30252 -0.83189696 0.23891267 -47.664185 13.688688
    Unten rechts KachelX + 1 24092 KachelY + 1 30252 -0.83180108 0.23891267 -47.658691 13.688688
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23900582-0.23891267) × R
    9.31500000000141e-05 × 6371000     		dl = 593.45865000009m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23900582-0.23891267) × R
    9.31500000000141e-05 × 6371000     		dr = 593.45865000009m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83189696--0.83180108) × cos(0.23900582) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.97157381397803 × 6371000     		do = 593.487302198022m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83189696--0.83180108) × cos(0.23891267) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.971595861798049 × 6371000     		du = 593.500770141512m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23900582)-sin(0.23891267))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.97157381397803-0.971595861798049)×R²
    abs(-0.83180108--0.83189696)×2.20478200188001e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.20478200188001e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.20478200188001e-05×40589641000000     		ar = 352214.169743178m²