Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 24091 / 25540
↖ ↑ ↗
← S 70.392606°
E 84.671631°		 ← 409.95 m → S 70.392606°
E 84.682617°		 →
↑
409.91 m
↓
↑
409.91 m
↓
S 70.396293°
E 84.671631°		 ← 409.88 m →
168 027 m²		 S 70.396293°
E 84.682617°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24091 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 25540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.735214233398438 y=0.779434204101562 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.735214233398438 × 215)
    floor (0.735214233398438 × 32768)
    floor (24091.5)     		tx = 24091
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.779434204101562 × 215)
    floor (0.779434204101562 × 32768)
    floor (25540.5)     		ty = 25540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 24091 / 25540 ti = "15/24091/25540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/24091/25540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24091 ÷ 215
    24091 ÷ 32768     		x = 0.735198974609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 25540 ÷ 215
    25540 ÷ 32768     		y = 0.7794189453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.735198974609375 × 2 - 1) × π
    0.47039794921875 × 3.1415926535     		Λ = 1.47779874
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.7794189453125 × 2 - 1) × π
    -0.558837890625 × 3.1415926535     		Φ = -1.75564101168494
    Länge (λ) Λ (unverändert) 1.47779874} λ = 1.47779874}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.75564101168494))-π/2
    2×atan(0.172796442244854)-π/2
    2×0.171106790339466-π/2
    0.342213580678932-1.57079632675     		φ = -1.22858275
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 1.47779874} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 84.671631°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.22858275 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -70.392606°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24091 KachelY 25540 1.47779874 -1.22858275 84.671631 -70.392606
    Oben rechts KachelX + 1 24092 KachelY 25540 1.47799049 -1.22858275 84.682617 -70.392606
    Unten links KachelX 24091 KachelY + 1 25541 1.47779874 -1.22864709 84.671631 -70.396293
    Unten rechts KachelX + 1 24092 KachelY + 1 25541 1.47799049 -1.22864709 84.682617 -70.396293
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.22858275--1.22864709) × R
    6.43399999999961e-05 × 6371000     		dl = 409.910139999975m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.22858275--1.22864709) × R
    6.43399999999961e-05 × 6371000     		dr = 409.910139999975m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(1.47779874-1.47799049) × cos(-1.22858275) × R
    0.000191749999999935 × 0.335573133257393 × 6371000     		do = 409.949310832573m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(1.47779874-1.47799049) × cos(-1.22864709) × R
    0.000191749999999935 × 0.33551252337199 × 6371000     		du = 409.875267417626m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.22858275)-sin(-1.22864709))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.335573133257393-0.33551252337199)×R²
    abs(1.47799049-1.47779874)×6.060988540324e-05×R²
    0.000191749999999935×6.060988540324e-05×6371000²
    0.000191749999999935×6.060988540324e-05×40589641000000     		ar = 168027.203881083m²