Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24088 / 30264
↖ ↑ ↗
← N 13.624633°
W 47.680664°		 ← 593.66 m → N 13.624633°
W 47.675171°		 →
↑
593.59 m
↓
↑
593.59 m
↓
N 13.619295°
W 47.680664°		 ← 593.68 m →
352 393 m²		 N 13.619295°
W 47.675171°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24088 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30264 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367561340332031 y=0.461799621582031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367561340332031 × 216)
    floor (0.367561340332031 × 65536)
    floor (24088.5)     		tx = 24088
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461799621582031 × 216)
    floor (0.461799621582031 × 65536)
    floor (30264.5)     		ty = 30264
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24088 / 30264 ti = "16/24088/30264"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24088/30264.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24088 ÷ 216
    24088 ÷ 65536     		x = 0.3675537109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30264 ÷ 216
    30264 ÷ 65536     		y = 0.4617919921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3675537109375 × 2 - 1) × π
    -0.264892578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.83218458
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.4617919921875 × 2 - 1) × π
    0.076416015625 × 3.1415926535     		Φ = 0.240067993297241
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83218458} λ = -0.83218458}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.240067993297241))-π/2
    2×atan(1.27133558968137)-π/2
    2×0.904295519831382-π/2
    1.80859103966276-1.57079632675     		φ = 0.23779471
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83218458} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.680664°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23779471 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.624633°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24088 KachelY 30264 -0.83218458 0.23779471 -47.680664 13.624633
    Oben rechts KachelX + 1 24089 KachelY 30264 -0.83208870 0.23779471 -47.675171 13.624633
    Unten links KachelX 24088 KachelY + 1 30265 -0.83218458 0.23770154 -47.680664 13.619295
    Unten rechts KachelX + 1 24089 KachelY + 1 30265 -0.83208870 0.23770154 -47.675171 13.619295
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23779471-0.23770154) × R
    9.31700000000035e-05 × 6371000     		dl = 593.586070000022m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23779471-0.23770154) × R
    9.31700000000035e-05 × 6371000     		dr = 593.586070000022m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83218458--0.83208870) × cos(0.23779471) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.971859815697206 × 6371000     		do = 593.662006770776m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83218458--0.83208870) × cos(0.23770154) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.971881758601227 × 6371000     		du = 593.675410626173m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23779471)-sin(0.23770154))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.971859815697206-0.971881758601227)×R²
    abs(-0.83208870--0.83218458)×2.19429040213548e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.19429040213548e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.19429040213548e-05×40589641000000     		ar = 352393.475933205m²