Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24087 / 30266
↖ ↑ ↗
← N 13.613956°
W 47.686157°		 ← 593.63 m → N 13.613956°
W 47.680664°		 →
↑
593.65 m
↓
↑
593.65 m
↓
N 13.608617°
W 47.686157°		 ← 593.64 m →
352 410 m²		 N 13.608617°
W 47.680664°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24087 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30266 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367546081542969 y=0.461830139160156 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367546081542969 × 216)
    floor (0.367546081542969 × 65536)
    floor (24087.5)     		tx = 24087
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461830139160156 × 216)
    floor (0.461830139160156 × 65536)
    floor (30266.5)     		ty = 30266
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24087 / 30266 ti = "16/24087/30266"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24087/30266.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24087 ÷ 216
    24087 ÷ 65536     		x = 0.367538452148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30266 ÷ 216
    30266 ÷ 65536     		y = 0.461822509765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.367538452148438 × 2 - 1) × π
    -0.264923095703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.83228045
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461822509765625 × 2 - 1) × π
    0.07635498046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.239876245698761
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83228045} λ = -0.83228045}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.239876245698761))-π/2
    2×atan(1.27109183750538)-π/2
    2×0.904202341834808-π/2
    1.80840468366962-1.57079632675     		φ = 0.23760836
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83228045} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.686157°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.23760836 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.613956°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24087 KachelY 30266 -0.83228045 0.23760836 -47.686157 13.613956
    Oben rechts KachelX + 1 24088 KachelY 30266 -0.83218458 0.23760836 -47.680664 13.613956
    Unten links KachelX 24087 KachelY + 1 30267 -0.83228045 0.23751518 -47.686157 13.608617
    Unten rechts KachelX + 1 24088 KachelY + 1 30267 -0.83218458 0.23751518 -47.680664 13.608617
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.23760836-0.23751518) × R
    9.31799999999983e-05 × 6371000     		dl = 593.649779999989m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.23760836-0.23751518) × R
    9.31799999999983e-05 × 6371000     		dr = 593.649779999989m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83228045--0.83218458) × cos(0.23760836) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.971903695422473 × 6371000     		do = 593.626890781838m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83228045--0.83218458) × cos(0.23751518) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.971925623805153 × 6371000     		du = 593.640284369795m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.23760836)-sin(0.23751518))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.971903695422473-0.971925623805153)×R²
    abs(-0.83218458--0.83228045)×2.19283826798922e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.19283826798922e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.19283826798922e-05×40589641000000     		ar = 352410.448919926m²