Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24086 / 40934
↖ ↑ ↗
← S 40.871988°
W 47.691651°		 ← 461.91 m → S 40.871988°
W 47.686157°		 →
↑
461.83 m
↓
↑
461.83 m
↓
S 40.876141°
W 47.691651°		 ← 461.88 m →
213 319 m²		 S 40.876141°
W 47.686157°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24086 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 40934 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367530822753906 y=0.624610900878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367530822753906 × 216)
    floor (0.367530822753906 × 65536)
    floor (24086.5)     		tx = 24086
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.624610900878906 × 216)
    floor (0.624610900878906 × 65536)
    floor (40934.5)     		ty = 40934
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24086 / 40934 ti = "16/24086/40934"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24086/40934.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24086 ÷ 216
    24086 ÷ 65536     		x = 0.367523193359375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 40934 ÷ 216
    40934 ÷ 65536     		y = 0.624603271484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.367523193359375 × 2 - 1) × π
    -0.26495361328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.83237633
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.624603271484375 × 2 - 1) × π
    -0.24920654296875 × 3.1415926535     		Φ = -0.782905444594757
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83237633} λ = -0.83237633}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.782905444594757))-π/2
    2×atan(0.457076071006968)-π/2
    2×0.428722784311318-π/2
    0.857445568622637-1.57079632675     		φ = -0.71335076
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83237633} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.691651°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.71335076 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -40.871988°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24086 KachelY 40934 -0.83237633 -0.71335076 -47.691651 -40.871988
    Oben rechts KachelX + 1 24087 KachelY 40934 -0.83228045 -0.71335076 -47.686157 -40.871988
    Unten links KachelX 24086 KachelY + 1 40935 -0.83237633 -0.71342325 -47.691651 -40.876141
    Unten rechts KachelX + 1 24087 KachelY + 1 40935 -0.83228045 -0.71342325 -47.686157 -40.876141
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.71335076--0.71342325) × R
    7.24899999999806e-05 × 6371000     		dl = 461.833789999877m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.71335076--0.71342325) × R
    7.24899999999806e-05 × 6371000     		dr = 461.833789999877m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83237633--0.83228045) × cos(-0.71335076) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.756173484265919 × 6371000     		do = 461.909692000825m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83237633--0.83228045) × cos(-0.71342325) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.756126046911218 × 6371000     		du = 461.880714822499m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.71335076)-sin(-0.71342325))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.756173484265919-0.756126046911218)×R²
    abs(-0.83228045--0.83237633)×4.74373547011409e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.74373547011409e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.74373547011409e-05×40589641000000     		ar = 213318.812467588m²