Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24085 / 27177
↖ ↑ ↗
← N 29.339087°
W 47.697144°		 ← 532.45 m → N 29.339087°
W 47.691651°		 →
↑
532.49 m
↓
↑
532.49 m
↓
N 29.334298°
W 47.697144°		 ← 532.47 m →
283 527 m²		 N 29.334298°
W 47.691651°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24085 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27177 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367515563964844 y=0.414695739746094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367515563964844 × 216)
    floor (0.367515563964844 × 65536)
    floor (24085.5)     		tx = 24085
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414695739746094 × 216)
    floor (0.414695739746094 × 65536)
    floor (27177.5)     		ty = 27177
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24085 / 27177 ti = "16/24085/27177"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24085/27177.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24085 ÷ 216
    24085 ÷ 65536     		x = 0.367507934570312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27177 ÷ 216
    27177 ÷ 65536     		y = 0.414688110351562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.367507934570312 × 2 - 1) × π
    -0.264984130859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.83247220
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.414688110351562 × 2 - 1) × π
    0.170623779296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.536030411551468
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83247220} λ = -0.83247220}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.536030411551468))-π/2
    2×atan(1.70920852339783)-π/2
    2×1.04142999659623-π/2
    2.08285999319247-1.57079632675     		φ = 0.51206367
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83247220} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.697144°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51206367 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.339087°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24085 KachelY 27177 -0.83247220 0.51206367 -47.697144 29.339087
    Oben rechts KachelX + 1 24086 KachelY 27177 -0.83237633 0.51206367 -47.691651 29.339087
    Unten links KachelX 24085 KachelY + 1 27178 -0.83247220 0.51198009 -47.697144 29.334298
    Unten rechts KachelX + 1 24086 KachelY + 1 27178 -0.83237633 0.51198009 -47.691651 29.334298
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51206367-0.51198009) × R
    8.3579999999972e-05 × 6371000     		dl = 532.488179999822m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51206367-0.51198009) × R
    8.3579999999972e-05 × 6371000     		dr = 532.488179999822m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83247220--0.83237633) × cos(0.51206367) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.871735213229107 × 6371000     		do = 532.445206918669m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83247220--0.83237633) × cos(0.51198009) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.871776162483876 × 6371000     		du = 532.470218222673m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51206367)-sin(0.51198009))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.871735213229107-0.871776162483876)×R²
    abs(-0.83237633--0.83247220)×4.09492547693846e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.09492547693846e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.09492547693846e-05×40589641000000     		ar = 283527.438458686m²