Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24084 / 30188
↖ ↑ ↗
← N 14.030015°
W 47.702637°		 ← 592.57 m → N 14.030015°
W 47.697144°		 →
↑
592.63 m
↓
↑
592.63 m
↓
N 14.024685°
W 47.702637°		 ← 592.58 m →
351 177 m²		 N 14.024685°
W 47.697144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30188 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367500305175781 y=0.460639953613281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367500305175781 × 216)
    floor (0.367500305175781 × 65536)
    floor (24084.5)     		tx = 24084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.460639953613281 × 216)
    floor (0.460639953613281 × 65536)
    floor (30188.5)     		ty = 30188
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24084 / 30188 ti = "16/24084/30188"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24084/30188.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24084 ÷ 216
    24084 ÷ 65536     		x = 0.36749267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30188 ÷ 216
    30188 ÷ 65536     		y = 0.46063232421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36749267578125 × 2 - 1) × π
    -0.2650146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.83256807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46063232421875 × 2 - 1) × π
    0.0787353515625 × 3.1415926535     		Φ = 0.24735440203949
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83256807} λ = -0.83256807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.24735440203949))-π/2
    2×atan(1.28063289127201)-π/2
    2×0.907833137376796-π/2
    1.81566627475359-1.57079632675     		φ = 0.24486995
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83256807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.702637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24486995 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.030015°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24084 KachelY 30188 -0.83256807 0.24486995 -47.702637 14.030015
    Oben rechts KachelX + 1 24085 KachelY 30188 -0.83247220 0.24486995 -47.697144 14.030015
    Unten links KachelX 24084 KachelY + 1 30189 -0.83256807 0.24477693 -47.702637 14.024685
    Unten rechts KachelX + 1 24085 KachelY + 1 30189 -0.83247220 0.24477693 -47.697144 14.024685
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24486995-0.24477693) × R
    9.30199999999992e-05 × 6371000     		dl = 592.630419999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24486995-0.24477693) × R
    9.30199999999992e-05 × 6371000     		dr = 592.630419999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83256807--0.83247220) × cos(0.24486995) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.970168861218618 × 6371000     		do = 592.567275267146m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83256807--0.83247220) × cos(0.24477693) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.970191407874432 × 6371000     		du = 592.581046488772m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24486995)-sin(0.24477693))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.970168861218618-0.970191407874432)×R²
    abs(-0.83247220--0.83256807)×2.25466558139154e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.25466558139154e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.25466558139154e-05×40589641000000     		ar = 351177.474095449m²