Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24084 / 27197
↖ ↑ ↗
← N 29.243270°
W 47.702637°		 ← 532.94 m → N 29.243270°
W 47.697144°		 →
↑
533 m
↓
↑
533 m
↓
N 29.238477°
W 47.702637°		 ← 532.97 m →
284 065 m²		 N 29.238477°
W 47.697144°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24084 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27197 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367500305175781 y=0.415000915527344 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367500305175781 × 216)
    floor (0.367500305175781 × 65536)
    floor (24084.5)     		tx = 24084
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.415000915527344 × 216)
    floor (0.415000915527344 × 65536)
    floor (27197.5)     		ty = 27197
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24084 / 27197 ti = "16/24084/27197"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24084/27197.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24084 ÷ 216
    24084 ÷ 65536     		x = 0.36749267578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27197 ÷ 216
    27197 ÷ 65536     		y = 0.414993286132812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36749267578125 × 2 - 1) × π
    -0.2650146484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.83256807
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.414993286132812 × 2 - 1) × π
    0.170013427734375 × 3.1415926535     		Φ = 0.534112935566666
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83256807} λ = -0.83256807}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.534112935566666))-π/2
    2×atan(1.70593429722942)-π/2
    2×1.04059383858384-π/2
    2.08118767716769-1.57079632675     		φ = 0.51039135
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83256807} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.702637°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51039135 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.243270°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24084 KachelY 27197 -0.83256807 0.51039135 -47.702637 29.243270
    Oben rechts KachelX + 1 24085 KachelY 27197 -0.83247220 0.51039135 -47.697144 29.243270
    Unten links KachelX 24084 KachelY + 1 27198 -0.83256807 0.51030769 -47.702637 29.238477
    Unten rechts KachelX + 1 24085 KachelY + 1 27198 -0.83247220 0.51030769 -47.697144 29.238477
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51039135-0.51030769) × R
    8.36600000000409e-05 × 6371000     		dl = 532.997860000261m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51039135-0.51030769) × R
    8.36600000000409e-05 × 6371000     		dr = 532.997860000261m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83256807--0.83247220) × cos(0.51039135) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.872553392652546 × 6371000     		do = 532.944940904171m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83256807--0.83247220) × cos(0.51030769) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.872594259078299 × 6371000     		du = 532.969901617225m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51039135)-sin(0.51030769))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872553392652546-0.872594259078299)×R²
    abs(-0.83247220--0.83256807)×4.08664257525171e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.08664257525171e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.08664257525171e-05×40589641000000     		ar = 284065.165168875m²