Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24083 / 27196
↖ ↑ ↗
← N 29.248063°
W 47.708130°		 ← 532.98 m → N 29.248063°
W 47.702637°		 →
↑
532.93 m
↓
↑
532.93 m
↓
N 29.243270°
W 47.708130°		 ← 533 m →
284 048 m²		 N 29.243270°
W 47.702637°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24083 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27196 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367485046386719 y=0.414985656738281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367485046386719 × 216)
    floor (0.367485046386719 × 65536)
    floor (24083.5)     		tx = 24083
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414985656738281 × 216)
    floor (0.414985656738281 × 65536)
    floor (27196.5)     		ty = 27196
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24083 / 27196 ti = "16/24083/27196"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24083/27196.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24083 ÷ 216
    24083 ÷ 65536     		x = 0.367477416992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27196 ÷ 216
    27196 ÷ 65536     		y = 0.41497802734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.367477416992188 × 2 - 1) × π
    -0.265045166015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.83266395
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41497802734375 × 2 - 1) × π
    0.1700439453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.534208809365906
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83266395} λ = -0.83266395}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.534208809365906))-π/2
    2×atan(1.70609785947229)-π/2
    2×1.04063566510868-π/2
    2.08127133021736-1.57079632675     		φ = 0.51047500
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83266395} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.708130°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51047500 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.248063°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24083 KachelY 27196 -0.83266395 0.51047500 -47.708130 29.248063
    Oben rechts KachelX + 1 24084 KachelY 27196 -0.83256807 0.51047500 -47.702637 29.248063
    Unten links KachelX 24083 KachelY + 1 27197 -0.83266395 0.51039135 -47.708130 29.243270
    Unten rechts KachelX + 1 24084 KachelY + 1 27197 -0.83256807 0.51039135 -47.702637 29.243270
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51047500-0.51039135) × R
    8.36499999999907e-05 × 6371000     		dl = 532.934149999941m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51047500-0.51039135) × R
    8.36499999999907e-05 × 6371000     		dr = 532.934149999941m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83266395--0.83256807) × cos(0.51047500) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.872512525005714 × 6371000     		do = 532.975567218545m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83266395--0.83256807) × cos(0.51039135) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.872553392652546 × 6371000     		du = 533.000531281097m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51047500)-sin(0.51039135))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.872512525005714-0.872553392652546)×R²
    abs(-0.83256807--0.83266395)×4.08676468323099e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.08676468323099e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.08676468323099e-05×40589641000000     		ar = 284047.533152831m²