Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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12 / 2408 / 1832
↖ ↑ ↗
← N 18.646245°
E 31.640625°		 ← 9 260.01 m → N 18.646245°
E 31.728515°		 →
↑
9 262.29 m
↓
↑
9 262.29 m
↓
N 18.562947°
E 31.640625°		 ← 9 264.54 m →
85 789 870 m²		 N 18.562947°
E 31.728515°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 12 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 2408 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 1832 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.5880126953125 y=0.4473876953125 und der Vergrößerungsstufe zoom=12 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.5880126953125 × 212)
    floor (0.5880126953125 × 4096)
    floor (2408.5)     		tx = 2408
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.4473876953125 × 212)
    floor (0.4473876953125 × 4096)
    floor (1832.5)     		ty = 1832
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 12 / 2408 / 1832 ti = "12/2408/1832"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/12/2408/1832.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 2408 ÷ 212
    2408 ÷ 4096     		x = 0.587890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 1832 ÷ 212
    1832 ÷ 4096     		y = 0.447265625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.587890625 × 2 - 1) × π
    0.17578125 × 3.1415926535     		Λ = 0.55223308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.447265625 × 2 - 1) × π
    0.10546875 × 3.1415926535     		Φ = 0.331339850173828
    Länge (λ) Λ (unverändert) 0.55223308} λ = 0.55223308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.331339850173828))-π/2
    2×atan(1.39283306644223)-π/2
    2×0.948117348829763-π/2
    1.89623469765953-1.57079632675     		φ = 0.32543837
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° 0.55223308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = 31.640625°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.32543837 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 18.646245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 2408 KachelY 1832 0.55223308 0.32543837 31.640625 18.646245
    Oben rechts KachelX + 1 2409 KachelY 1832 0.55376706 0.32543837 31.728515 18.646245
    Unten links KachelX 2408 KachelY + 1 1833 0.55223308 0.32398455 31.640625 18.562947
    Unten rechts KachelX + 1 2409 KachelY + 1 1833 0.55376706 0.32398455 31.728515 18.562947
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.32543837-0.32398455) × R
    0.00145381999999999 × 6371000     		dl = 9262.28721999997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.32543837-0.32398455) × R
    0.00145381999999999 × 6371000     		dr = 9262.28721999997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(0.55223308-0.55376706) × cos(0.32543837) × R
    0.00153397999999993 × 0.94751065997265 × 6371000     		do = 9260.00896431926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(0.55223308-0.55376706) × cos(0.32398455) × R
    0.00153397999999993 × 0.947974479886063 × 6371000     		du = 9264.54187010858m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.32543837)-sin(0.32398455))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.94751065997265-0.947974479886063)×R²
    abs(0.55376706-0.55223308)×0.000463819913412822×R²
    0.00153397999999993×0.000463819913412822×6371000²
    0.00153397999999993×0.000463819913412822×40589641000000     		ar = 85789870.3353827m²