Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24079 / 30193
↖ ↑ ↗
← N 14.003366°
W 47.730102°		 ← 592.64 m → N 14.003366°
W 47.724610°		 →
↑
592.63 m
↓
↑
592.63 m
↓
N 13.998037°
W 47.730102°		 ← 592.65 m →
351 218 m²		 N 13.998037°
W 47.724610°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24079 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30193 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367424011230469 y=0.460716247558594 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367424011230469 × 216)
    floor (0.367424011230469 × 65536)
    floor (24079.5)     		tx = 24079
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.460716247558594 × 216)
    floor (0.460716247558594 × 65536)
    floor (30193.5)     		ty = 30193
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24079 / 30193 ti = "16/24079/30193"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24079/30193.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24079 ÷ 216
    24079 ÷ 65536     		x = 0.367416381835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30193 ÷ 216
    30193 ÷ 65536     		y = 0.460708618164062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.367416381835938 × 2 - 1) × π
    -0.265167236328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.83304744
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.460708618164062 × 2 - 1) × π
    0.078582763671875 × 3.1415926535     		Φ = 0.246875033043289
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83304744} λ = -0.83304744}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.246875033043289))-π/2
    2×atan(1.2800191426862)-π/2
    2×0.907600589436143-π/2
    1.81520117887229-1.57079632675     		φ = 0.24440485
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83304744} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.730102°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24440485 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 14.003366°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24079 KachelY 30193 -0.83304744 0.24440485 -47.730102 14.003366
    Oben rechts KachelX + 1 24080 KachelY 30193 -0.83295157 0.24440485 -47.724610 14.003366
    Unten links KachelX 24079 KachelY + 1 30194 -0.83304744 0.24431183 -47.730102 13.998037
    Unten rechts KachelX + 1 24080 KachelY + 1 30194 -0.83295157 0.24431183 -47.724610 13.998037
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24440485-0.24431183) × R
    9.30199999999992e-05 × 6371000     		dl = 592.630419999995m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24440485-0.24431183) × R
    9.30199999999992e-05 × 6371000     		dr = 592.630419999995m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83304744--0.83295157) × cos(0.24440485) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.970281510547787 × 6371000     		do = 592.636080099702m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83304744--0.83295157) × cos(0.24431183) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.970304015227677 × 6371000     		du = 592.649825682946m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24440485)-sin(0.24431183))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.970281510547787-0.970304015227677)×R²
    abs(-0.83295157--0.83304744)×2.25046798895123e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.25046798895123e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.25046798895123e-05×40589641000000     		ar = 351218.242335312m²