Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24078 / 30194
↖ ↑ ↗
← N 13.998037°
W 47.735596°		 ← 592.71 m → N 13.998037°
W 47.730102°		 →
↑
592.69 m
↓
↑
592.69 m
↓
N 13.992707°
W 47.735596°		 ← 592.73 m →
351 301 m²		 N 13.992707°
W 47.730102°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24078 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30194 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367408752441406 y=0.460731506347656 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367408752441406 × 216)
    floor (0.367408752441406 × 65536)
    floor (24078.5)     		tx = 24078
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.460731506347656 × 216)
    floor (0.460731506347656 × 65536)
    floor (30194.5)     		ty = 30194
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24078 / 30194 ti = "16/24078/30194"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24078/30194.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24078 ÷ 216
    24078 ÷ 65536     		x = 0.367401123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30194 ÷ 216
    30194 ÷ 65536     		y = 0.460723876953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.367401123046875 × 2 - 1) × π
    -0.26519775390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.83314332
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.460723876953125 × 2 - 1) × π
    0.07855224609375 × 3.1415926535     		Φ = 0.246779159244049
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83314332} λ = -0.83314332}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.246779159244049))-π/2
    2×atan(1.27989642827053)-π/2
    2×0.907554076609327-π/2
    1.81510815321865-1.57079632675     		φ = 0.24431183
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83314332} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.735596°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24431183 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.998037°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24078 KachelY 30194 -0.83314332 0.24431183 -47.735596 13.998037
    Oben rechts KachelX + 1 24079 KachelY 30194 -0.83304744 0.24431183 -47.730102 13.998037
    Unten links KachelX 24078 KachelY + 1 30195 -0.83314332 0.24421880 -47.735596 13.992707
    Unten rechts KachelX + 1 24079 KachelY + 1 30195 -0.83304744 0.24421880 -47.730102 13.992707
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24431183-0.24421880) × R
    9.3029999999994e-05 × 6371000     		dl = 592.694129999961m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24431183-0.24421880) × R
    9.3029999999994e-05 × 6371000     		dr = 592.694129999961m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83314332--0.83304744) × cos(0.24431183) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.970304015227677 × 6371000     		do = 592.711643752067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83314332--0.83304744) × cos(0.24421880) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.970326513929781 × 6371000     		du = 592.725387117545m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24431183)-sin(0.24421880))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.970304015227677-0.970326513929781)×R²
    abs(-0.83304744--0.83314332)×2.24987021040235e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.24987021040235e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.24987021040235e-05×40589641000000     		ar = 351300.785093832m²