Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24072 / 29177
↖ ↑ ↗
← N 19.347428°
W 47.768555°		 ← 576.35 m → N 19.347428°
W 47.763061°		 →
↑
576.32 m
↓
↑
576.32 m
↓
N 19.342245°
W 47.768555°		 ← 576.37 m →
332 171 m²		 N 19.342245°
W 47.763061°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24072 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29177 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367317199707031 y=0.445213317871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367317199707031 × 216)
    floor (0.367317199707031 × 65536)
    floor (24072.5)     		tx = 24072
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.445213317871094 × 216)
    floor (0.445213317871094 × 65536)
    floor (29177.5)     		ty = 29177
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24072 / 29177 ti = "16/24072/29177"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24072/29177.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24072 ÷ 216
    24072 ÷ 65536     		x = 0.3673095703125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29177 ÷ 216
    29177 ÷ 65536     		y = 0.445205688476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.3673095703125 × 2 - 1) × π
    -0.265380859375 × 3.1415926535     		Λ = -0.83371856
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.445205688476562 × 2 - 1) × π
    0.109588623046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.344282813071243
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83371856} λ = -0.83371856}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.344282813071243))-π/2
    2×atan(1.41097762200045)-π/2
    2×0.954236323832437-π/2
    1.90847264766487-1.57079632675     		φ = 0.33767632
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83371856} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.768555°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.33767632 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 19.347428°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24072 KachelY 29177 -0.83371856 0.33767632 -47.768555 19.347428
    Oben rechts KachelX + 1 24073 KachelY 29177 -0.83362268 0.33767632 -47.763061 19.347428
    Unten links KachelX 24072 KachelY + 1 29178 -0.83371856 0.33758586 -47.768555 19.342245
    Unten rechts KachelX + 1 24073 KachelY + 1 29178 -0.83362268 0.33758586 -47.763061 19.342245
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.33767632-0.33758586) × R
    9.04599999999589e-05 × 6371000     		dl = 576.320659999738m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.33767632-0.33758586) × R
    9.04599999999589e-05 × 6371000     		dr = 576.320659999738m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83371856--0.83362268) × cos(0.33767632) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.943527036921796 × 6371000     		do = 576.354886923983m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83371856--0.83362268) × cos(0.33758586) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.94355700205528 × 6371000     		du = 576.373191170121m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.33767632)-sin(0.33758586))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.943527036921796-0.94355700205528)×R²
    abs(-0.83362268--0.83371856)×2.99651334841888e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.99651334841888e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.99651334841888e-05×40589641000000     		ar = 332170.503610161m²