Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24070 / 30201
↖ ↑ ↗
← N 13.960723°
W 47.779541°		 ← 592.81 m → N 13.960723°
W 47.774048°		 →
↑
592.82 m
↓
↑
592.82 m
↓
N 13.955392°
W 47.779541°		 ← 592.82 m →
351 433 m²		 N 13.955392°
W 47.774048°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30201 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367286682128906 y=0.460838317871094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367286682128906 × 216)
    floor (0.367286682128906 × 65536)
    floor (24070.5)     		tx = 24070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.460838317871094 × 216)
    floor (0.460838317871094 × 65536)
    floor (30201.5)     		ty = 30201
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24070 / 30201 ti = "16/24070/30201"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24070/30201.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24070 ÷ 216
    24070 ÷ 65536     		x = 0.367279052734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30201 ÷ 216
    30201 ÷ 65536     		y = 0.460830688476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.367279052734375 × 2 - 1) × π
    -0.26544189453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.83391031
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.460830688476562 × 2 - 1) × π
    0.078338623046875 × 3.1415926535     		Φ = 0.246108042649368
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83391031} λ = -0.83391031}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.246108042649368))-π/2
    2×atan(1.27903775670464)-π/2
    2×0.907228456639675-π/2
    1.81445691327935-1.57079632675     		φ = 0.24366059
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83391031} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.779541°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24366059 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.960723°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24070 KachelY 30201 -0.83391031 0.24366059 -47.779541 13.960723
    Oben rechts KachelX + 1 24071 KachelY 30201 -0.83381443 0.24366059 -47.774048 13.960723
    Unten links KachelX 24070 KachelY + 1 30202 -0.83391031 0.24356754 -47.779541 13.955392
    Unten rechts KachelX + 1 24071 KachelY + 1 30202 -0.83381443 0.24356754 -47.774048 13.955392
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24366059-0.24356754) × R
    9.30500000000112e-05 × 6371000     		dl = 592.821550000071m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24366059-0.24356754) × R
    9.30500000000112e-05 × 6371000     		dr = 592.821550000071m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83391031--0.83381443) × cos(0.24366059) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.970461337020141 × 6371000     		do = 592.80774400183m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83391031--0.83381443) × cos(0.24356754) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.970483781754395 × 6371000     		du = 592.821454400967m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24366059)-sin(0.24356754))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.970461337020141-0.970483781754395)×R²
    abs(-0.83381443--0.83391031)×2.24447342535017e-05×R²
    9.58800000000481e-05×2.24447342535017e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×2.24447342535017e-05×40589641000000     		ar = 351433.269814816m²