Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24068 / 27132
↖ ↑ ↗
← N 29.554345°
W 47.790527°		 ← 531.32 m → N 29.554345°
W 47.785034°		 →
↑
531.34 m
↓
↑
531.34 m
↓
N 29.549567°
W 47.790527°		 ← 531.34 m →
282 317 m²		 N 29.549567°
W 47.785034°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 27132 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367256164550781 y=0.414009094238281 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367256164550781 × 216)
    floor (0.367256164550781 × 65536)
    floor (24068.5)     		tx = 24068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.414009094238281 × 216)
    floor (0.414009094238281 × 65536)
    floor (27132.5)     		ty = 27132
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24068 / 27132 ti = "16/24068/27132"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24068/27132.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24068 ÷ 216
    24068 ÷ 65536     		x = 0.36724853515625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 27132 ÷ 216
    27132 ÷ 65536     		y = 0.41400146484375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36724853515625 × 2 - 1) × π
    -0.2655029296875 × 3.1415926535     		Λ = -0.83410205
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.41400146484375 × 2 - 1) × π
    0.1719970703125 × 3.1415926535     		Φ = 0.540344732517273
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83410205} λ = -0.83410205}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.540344732517273))-π/2
    2×atan(1.7165985275274)-π/2
    2×1.04330847874825-π/2
    2.08661695749651-1.57079632675     		φ = 0.51582063
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83410205} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.790527°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.51582063 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 29.554345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24068 KachelY 27132 -0.83410205 0.51582063 -47.790527 29.554345
    Oben rechts KachelX + 1 24069 KachelY 27132 -0.83400618 0.51582063 -47.785034 29.554345
    Unten links KachelX 24068 KachelY + 1 27133 -0.83410205 0.51573723 -47.790527 29.549567
    Unten rechts KachelX + 1 24069 KachelY + 1 27133 -0.83400618 0.51573723 -47.785034 29.549567
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.51582063-0.51573723) × R
    8.33999999999557e-05 × 6371000     		dl = 531.341399999718m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.51582063-0.51573723) × R
    8.33999999999557e-05 × 6371000     		dr = 531.341399999718m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83410205--0.83400618) × cos(0.51582063) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.869888240428104 × 6371000     		do = 531.317098520294m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83410205--0.83400618) × cos(0.51573723) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.869929374358653 × 6371000     		du = 531.342222622005m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.51582063)-sin(0.51573723))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.869888240428104-0.869929374358653)×R²
    abs(-0.83400618--0.83410205)×4.11339305493863e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.11339305493863e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.11339305493863e-05×40589641000000     		ar = 282317.445873008m²