Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24065 / 42499
↖ ↑ ↗
← S 47.051412°
W 47.807007°		 ← 416.16 m → S 47.051412°
W 47.801514°		 →
↑
416.15 m
↓
↑
416.15 m
↓
S 47.055154°
W 47.807007°		 ← 416.13 m →
173 178 m²		 S 47.055154°
W 47.801514°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24065 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42499 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367210388183594 y=0.648490905761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367210388183594 × 216)
    floor (0.367210388183594 × 65536)
    floor (24065.5)     		tx = 24065
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648490905761719 × 216)
    floor (0.648490905761719 × 65536)
    floor (42499.5)     		ty = 42499
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24065 / 42499 ti = "16/24065/42499"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24065/42499.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24065 ÷ 216
    24065 ÷ 65536     		x = 0.367202758789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42499 ÷ 216
    42499 ÷ 65536     		y = 0.648483276367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.367202758789062 × 2 - 1) × π
    -0.265594482421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.83438967
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648483276367188 × 2 - 1) × π
    -0.296966552734375 × 3.1415926535     		Φ = -0.932947940405533
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83438967} λ = -0.83438967}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.932947940405533))-π/2
    2×atan(0.393392302268668)-π/2
    2×0.374797139263348-π/2
    0.749594278526696-1.57079632675     		φ = -0.82120205
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83438967} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.807007°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82120205 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.051412°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24065 KachelY 42499 -0.83438967 -0.82120205 -47.807007 -47.051412
    Oben rechts KachelX + 1 24066 KachelY 42499 -0.83429380 -0.82120205 -47.801514 -47.051412
    Unten links KachelX 24065 KachelY + 1 42500 -0.83438967 -0.82126737 -47.807007 -47.055154
    Unten rechts KachelX + 1 24066 KachelY + 1 42500 -0.83429380 -0.82126737 -47.801514 -47.055154
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82120205--0.82126737) × R
    6.53200000000353e-05 × 6371000     		dl = 416.153720000225m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82120205--0.82126737) × R
    6.53200000000353e-05 × 6371000     		dr = 416.153720000225m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83438967--0.83429380) × cos(-0.82120205) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.681341840775734 × 6371000     		do = 416.155263535096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83438967--0.83429380) × cos(-0.82126737) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.681294027344564 × 6371000     		du = 416.126059676096m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82120205)-sin(-0.82126737))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681341840775734-0.681294027344564)×R²
    abs(-0.83429380--0.83438967)×4.78134311693301e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78134311693301e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78134311693301e-05×40589641000000     		ar = 173178.484432138m²