Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24063 / 42503
↖ ↑ ↗
← S 47.066380°
W 47.817993°		 ← 416.04 m → S 47.066380°
W 47.812500°		 →
↑
416.09 m
↓
↑
416.09 m
↓
S 47.070122°
W 47.817993°		 ← 416.01 m →
173 103 m²		 S 47.070122°
W 47.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24063 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42503 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367179870605469 y=0.648551940917969 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367179870605469 × 216)
    floor (0.367179870605469 × 65536)
    floor (24063.5)     		tx = 24063
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648551940917969 × 216)
    floor (0.648551940917969 × 65536)
    floor (42503.5)     		ty = 42503
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24063 / 42503 ti = "16/24063/42503"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24063/42503.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24063 ÷ 216
    24063 ÷ 65536     		x = 0.367172241210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42503 ÷ 216
    42503 ÷ 65536     		y = 0.648544311523438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.367172241210938 × 2 - 1) × π
    -0.265655517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.83458142
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648544311523438 × 2 - 1) × π
    -0.297088623046875 × 3.1415926535     		Φ = -0.933331435602493
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83458142} λ = -0.83458142}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.933331435602493))-π/2
    2×atan(0.39324146713435)-π/2
    2×0.374666511937621-π/2
    0.749333023875242-1.57079632675     		φ = -0.82146330
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83458142} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.817993°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82146330 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.066380°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24063 KachelY 42503 -0.83458142 -0.82146330 -47.817993 -47.066380
    Oben rechts KachelX + 1 24064 KachelY 42503 -0.83448555 -0.82146330 -47.812500 -47.066380
    Unten links KachelX 24063 KachelY + 1 42504 -0.83458142 -0.82152861 -47.817993 -47.070122
    Unten rechts KachelX + 1 24064 KachelY + 1 42504 -0.83448555 -0.82152861 -47.812500 -47.070122
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82146330--0.82152861) × R
    6.53099999999851e-05 × 6371000     		dl = 416.090009999905m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82146330--0.82152861) × R
    6.53099999999851e-05 × 6371000     		dr = 416.090009999905m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83458142--0.83448555) × cos(-0.82146330) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.6811505915749 × 6371000     		do = 416.038450862205m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83458142--0.83448555) × cos(-0.82152861) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.681102773840653 × 6371000     		du = 416.009244374937m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82146330)-sin(-0.82152861))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.6811505915749-0.681102773840653)×R²
    abs(-0.83448555--0.83458142)×4.78177342475572e-05×R²
    9.58699999999979e-05×4.78177342475572e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×4.78177342475572e-05×40589641000000     		ar = 173103.366977336m²