Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24063 / 30211
↖ ↑ ↗
← N 13.907408°
W 47.817993°		 ← 592.88 m → N 13.907408°
W 47.812500°		 →
↑
592.89 m
↓
↑
592.89 m
↓
N 13.902076°
W 47.817993°		 ← 592.90 m →
351 516 m²		 N 13.902076°
W 47.812500°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24063 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30211 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367179870605469 y=0.460990905761719 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367179870605469 × 216)
    floor (0.367179870605469 × 65536)
    floor (24063.5)     		tx = 24063
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.460990905761719 × 216)
    floor (0.460990905761719 × 65536)
    floor (30211.5)     		ty = 30211
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24063 / 30211 ti = "16/24063/30211"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24063/30211.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24063 ÷ 216
    24063 ÷ 65536     		x = 0.367172241210938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30211 ÷ 216
    30211 ÷ 65536     		y = 0.460983276367188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.367172241210938 × 2 - 1) × π
    -0.265655517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.83458142
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.460983276367188 × 2 - 1) × π
    0.078033447265625 × 3.1415926535     		Φ = 0.245149304656967
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83458142} λ = -0.83458142}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.245149304656967))-π/2
    2×atan(1.27781208225779)-π/2
    2×0.906763193823396-π/2
    1.81352638764679-1.57079632675     		φ = 0.24273006
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83458142} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.817993°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24273006 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.907408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24063 KachelY 30211 -0.83458142 0.24273006 -47.817993 13.907408
    Oben rechts KachelX + 1 24064 KachelY 30211 -0.83448555 0.24273006 -47.812500 13.907408
    Unten links KachelX 24063 KachelY + 1 30212 -0.83458142 0.24263700 -47.817993 13.902076
    Unten rechts KachelX + 1 24064 KachelY + 1 30212 -0.83448555 0.24263700 -47.812500 13.902076
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24273006-0.24263700) × R
    9.30600000000059e-05 × 6371000     		dl = 592.885260000038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24273006-0.24263700) × R
    9.30600000000059e-05 × 6371000     		dr = 592.885260000038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83458142--0.83448555) × cos(0.24273006) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.97068541342659 × 6371000     		do = 592.882779038342m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83458142--0.83448555) × cos(0.24263700) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.970707776524611 × 6371000     		du = 592.896438145113m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24273006)-sin(0.24263700))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.97068541342659-0.970707776524611)×R²
    abs(-0.83448555--0.83458142)×2.2363098021505e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.2363098021505e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.2363098021505e-05×40589641000000     		ar = 351515.509994894m²