Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24062 / 42502
↖ ↑ ↗
← S 47.062639°
W 47.823487°		 ← 416.11 m → S 47.062639°
W 47.817993°		 →
↑
416.03 m
↓
↑
416.03 m
↓
S 47.066380°
W 47.823487°		 ← 416.08 m →
173 107 m²		 S 47.066380°
W 47.817993°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42502 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367164611816406 y=0.648536682128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367164611816406 × 216)
    floor (0.367164611816406 × 65536)
    floor (24062.5)     		tx = 24062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648536682128906 × 216)
    floor (0.648536682128906 × 65536)
    floor (42502.5)     		ty = 42502
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24062 / 42502 ti = "16/24062/42502"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24062/42502.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24062 ÷ 216
    24062 ÷ 65536     		x = 0.367156982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42502 ÷ 216
    42502 ÷ 65536     		y = 0.648529052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.367156982421875 × 2 - 1) × π
    -0.26568603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.83467730
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648529052734375 × 2 - 1) × π
    -0.29705810546875 × 3.1415926535     		Φ = -0.933235561803253
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83467730} λ = -0.83467730}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.933235561803253))-π/2
    2×atan(0.393279170495176)-π/2
    2×0.374699165331042-π/2
    0.749398330662085-1.57079632675     		φ = -0.82139800
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83467730} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.823487°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82139800 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.062639°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24062 KachelY 42502 -0.83467730 -0.82139800 -47.823487 -47.062639
    Oben rechts KachelX + 1 24063 KachelY 42502 -0.83458142 -0.82139800 -47.817993 -47.062639
    Unten links KachelX 24062 KachelY + 1 42503 -0.83467730 -0.82146330 -47.823487 -47.066380
    Unten rechts KachelX + 1 24063 KachelY + 1 42503 -0.83458142 -0.82146330 -47.817993 -47.066380
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82139800--0.82146330) × R
    6.53000000000459e-05 × 6371000     		dl = 416.026300000292m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82139800--0.82146330) × R
    6.53000000000459e-05 × 6371000     		dr = 416.026300000292m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83467730--0.83458142) × cos(-0.82139800) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.681198399082782 × 6371000     		do = 416.111050253075m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83467730--0.83458142) × cos(-0.82146330) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.6811505915749 × 6371000     		du = 416.08184696613m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82139800)-sin(-0.82146330))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681198399082782-0.6811505915749)×R²
    abs(-0.83458142--0.83467730)×4.7807507881914e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.7807507881914e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.7807507881914e-05×40589641000000     		ar = 173107.066019614m²