Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24062 / 30214
↖ ↑ ↗
← N 13.891411°
W 47.823487°		 ← 592.99 m → N 13.891411°
W 47.817993°		 →
↑
592.95 m
↓
↑
592.95 m
↓
N 13.886078°
W 47.823487°		 ← 593 m →
351 614 m²		 N 13.886078°
W 47.817993°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24062 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30214 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367164611816406 y=0.461036682128906 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367164611816406 × 216)
    floor (0.367164611816406 × 65536)
    floor (24062.5)     		tx = 24062
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461036682128906 × 216)
    floor (0.461036682128906 × 65536)
    floor (30214.5)     		ty = 30214
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24062 / 30214 ti = "16/24062/30214"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24062/30214.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24062 ÷ 216
    24062 ÷ 65536     		x = 0.367156982421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30214 ÷ 216
    30214 ÷ 65536     		y = 0.461029052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.367156982421875 × 2 - 1) × π
    -0.26568603515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.83467730
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461029052734375 × 2 - 1) × π
    0.07794189453125 × 3.1415926535     		Φ = 0.244861683259247
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83467730} λ = -0.83467730}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.244861683259247))-π/2
    2×atan(1.27744460900978)-π/2
    2×0.906623594052293-π/2
    1.81324718810459-1.57079632675     		φ = 0.24245086
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83467730} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.823487°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24245086 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.891411°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24062 KachelY 30214 -0.83467730 0.24245086 -47.823487 13.891411
    Oben rechts KachelX + 1 24063 KachelY 30214 -0.83458142 0.24245086 -47.817993 13.891411
    Unten links KachelX 24062 KachelY + 1 30215 -0.83467730 0.24235779 -47.823487 13.886078
    Unten rechts KachelX + 1 24063 KachelY + 1 30215 -0.83458142 0.24235779 -47.817993 13.886078
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24245086-0.24235779) × R
    9.30700000000007e-05 × 6371000     		dl = 592.948970000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24245086-0.24235779) × R
    9.30700000000007e-05 × 6371000     		dr = 592.948970000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83467730--0.83458142) × cos(0.24245086) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.970752482302647 × 6371000     		do = 592.985590527857m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83467730--0.83458142) × cos(0.24235779) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.970774822578738 × 6371000     		du = 592.999237118571m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24245086)-sin(0.24235779))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.970752482302647-0.970774822578738)×R²
    abs(-0.83458142--0.83467730)×2.23402760913816e-05×R²
    9.58799999999371e-05×2.23402760913816e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×2.23402760913816e-05×40589641000000     		ar = 351614.2412481m²