Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
16 / 24061 / 30212
↖ ↑ ↗
← N 13.902076°
W 47.828979°		 ← 592.90 m → N 13.902076°
W 47.823487°		 →
↑
592.95 m
↓
↑
592.95 m
↓
N 13.896744°
W 47.828979°		 ← 592.91 m →
351 561 m²		 N 13.896744°
W 47.823487°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24061 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30212 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367149353027344 y=0.461006164550781 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367149353027344 × 216)
    floor (0.367149353027344 × 65536)
    floor (24061.5)     		tx = 24061
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461006164550781 × 216)
    floor (0.461006164550781 × 65536)
    floor (30212.5)     		ty = 30212
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24061 / 30212 ti = "16/24061/30212"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24061/30212.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24061 ÷ 216
    24061 ÷ 65536     		x = 0.367141723632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30212 ÷ 216
    30212 ÷ 65536     		y = 0.46099853515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.367141723632812 × 2 - 1) × π
    -0.265716552734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.83477317
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.46099853515625 × 2 - 1) × π
    0.0780029296875 × 3.1415926535     		Φ = 0.245053430857727
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83477317} λ = -0.83477317}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.245053430857727))-π/2
    2×atan(1.27768957943125)-π/2
    2×0.906716661638114-π/2
    1.81343332327623-1.57079632675     		φ = 0.24263700
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83477317} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.828979°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24263700 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.902076°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24061 KachelY 30212 -0.83477317 0.24263700 -47.828979 13.902076
    Oben rechts KachelX + 1 24062 KachelY 30212 -0.83467730 0.24263700 -47.823487 13.902076
    Unten links KachelX 24061 KachelY + 1 30213 -0.83477317 0.24254393 -47.828979 13.896744
    Unten rechts KachelX + 1 24062 KachelY + 1 30213 -0.83467730 0.24254393 -47.823487 13.896744
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24263700-0.24254393) × R
    9.30700000000007e-05 × 6371000     		dl = 592.948970000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24263700-0.24254393) × R
    9.30700000000007e-05 × 6371000     		dr = 592.948970000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83477317--0.83467730) × cos(0.24263700) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.970707776524611 × 6371000     		do = 592.896438145113m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83477317--0.83467730) × cos(0.24254393) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.970730133617874 × 6371000     		du = 592.91009358425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24263700)-sin(0.24254393))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.970707776524611-0.970730133617874)×R²
    abs(-0.83467730--0.83477317)×2.23570932621486e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.23570932621486e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.23570932621486e-05×40589641000000     		ar = 351561.381057823m²