Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24060 / 30213
↖ ↑ ↗
← N 13.896744°
W 47.834472°		 ← 592.91 m → N 13.896744°
W 47.828979°		 →
↑
592.95 m
↓
↑
592.95 m
↓
N 13.891411°
W 47.834472°		 ← 592.92 m →
351 569 m²		 N 13.891411°
W 47.828979°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24060 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 30213 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367134094238281 y=0.461021423339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367134094238281 × 216)
    floor (0.367134094238281 × 65536)
    floor (24060.5)     		tx = 24060
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.461021423339844 × 216)
    floor (0.461021423339844 × 65536)
    floor (30213.5)     		ty = 30213
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24060 / 30213 ti = "16/24060/30213"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24060/30213.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24060 ÷ 216
    24060 ÷ 65536     		x = 0.36712646484375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 30213 ÷ 216
    30213 ÷ 65536     		y = 0.461013793945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.36712646484375 × 2 - 1) × π
    -0.2657470703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.83486904
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.461013793945312 × 2 - 1) × π
    0.077972412109375 × 3.1415926535     		Φ = 0.244957557058487
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83486904} λ = -0.83486904}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.244957557058487))-π/2
    2×atan(1.27756708834895)-π/2
    2×0.906670128380954-π/2
    1.81334025676191-1.57079632675     		φ = 0.24254393
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83486904} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.834472°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.24254393 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 13.896744°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24060 KachelY 30213 -0.83486904 0.24254393 -47.834472 13.896744
    Oben rechts KachelX + 1 24061 KachelY 30213 -0.83477317 0.24254393 -47.828979 13.896744
    Unten links KachelX 24060 KachelY + 1 30214 -0.83486904 0.24245086 -47.834472 13.891411
    Unten rechts KachelX + 1 24061 KachelY + 1 30214 -0.83477317 0.24245086 -47.828979 13.891411
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.24254393-0.24245086) × R
    9.30700000000007e-05 × 6371000     		dl = 592.948970000004m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.24254393-0.24245086) × R
    9.30700000000007e-05 × 6371000     		dr = 592.948970000004m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83486904--0.83477317) × cos(0.24254393) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.970730133617874 × 6371000     		do = 592.91009358425m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83486904--0.83477317) × cos(0.24245086) × R
    9.58699999999979e-05 × 0.970752482302647 × 6371000     		du = 592.923743887585m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.24254393)-sin(0.24245086))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.970730133617874-0.970752482302647)×R²
    abs(-0.83477317--0.83486904)×2.23486847734655e-05×R²
    9.58699999999979e-05×2.23486847734655e-05×6371000²
    9.58699999999979e-05×2.23486847734655e-05×40589641000000     		ar = 351569.476513809m²