Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24059 / 42501
↖ ↑ ↗
← S 47.058896°
W 47.839966°		 ← 416.14 m → S 47.058896°
W 47.834472°		 →
↑
416.15 m
↓
↑
416.15 m
↓
S 47.062639°
W 47.839966°		 ← 416.11 m →
173 172 m²		 S 47.062639°
W 47.834472°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24059 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42501 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367118835449219 y=0.648521423339844 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367118835449219 × 216)
    floor (0.367118835449219 × 65536)
    floor (24059.5)     		tx = 24059
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648521423339844 × 216)
    floor (0.648521423339844 × 65536)
    floor (42501.5)     		ty = 42501
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24059 / 42501 ti = "16/24059/42501"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24059/42501.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24059 ÷ 216
    24059 ÷ 65536     		x = 0.367111206054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42501 ÷ 216
    42501 ÷ 65536     		y = 0.648513793945312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.367111206054688 × 2 - 1) × π
    -0.265777587890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.83496492
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648513793945312 × 2 - 1) × π
    -0.297027587890625 × 3.1415926535     		Φ = -0.933139688004013
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83496492} λ = -0.83496492}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.933139688004013))-π/2
    2×atan(0.39331687747094)-π/2
    2×0.374731821016456-π/2
    0.749463642032912-1.57079632675     		φ = -0.82133268
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83496492} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.839966°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82133268 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.058896°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24059 KachelY 42501 -0.83496492 -0.82133268 -47.839966 -47.058896
    Oben rechts KachelX + 1 24060 KachelY 42501 -0.83486904 -0.82133268 -47.834472 -47.058896
    Unten links KachelX 24059 KachelY + 1 42502 -0.83496492 -0.82139800 -47.839966 -47.062639
    Unten rechts KachelX + 1 24060 KachelY + 1 42502 -0.83486904 -0.82139800 -47.834472 -47.062639
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82133268--0.82139800) × R
    6.53199999999243e-05 × 6371000     		dl = 416.153719999518m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82133268--0.82139800) × R
    6.53199999999243e-05 × 6371000     		dr = 416.153719999518m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83496492--0.83486904) × cos(-0.82133268) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.68124621832706 × 6371000     		do = 416.140260709697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83496492--0.83486904) × cos(-0.82139800) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.681198399082782 × 6371000     		du = 416.111050253557m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82133268)-sin(-0.82139800))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.68124621832706-0.681198399082782)×R²
    abs(-0.83486904--0.83496492)×4.78192442778802e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.78192442778802e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.78192442778802e-05×40589641000000     		ar = 173172.23957747m²