Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24057 / 42505
↖ ↑ ↗
← S 47.073863°
W 47.850952°		 ← 416.02 m → S 47.073863°
W 47.845459°		 →
↑
416.03 m
↓
↑
416.03 m
↓
S 47.077604°
W 47.850952°		 ← 415.99 m →
173 071 m²		 S 47.077604°
W 47.845459°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24057 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42505 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367088317871094 y=0.648582458496094 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367088317871094 × 216)
    floor (0.367088317871094 × 65536)
    floor (24057.5)     		tx = 24057
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648582458496094 × 216)
    floor (0.648582458496094 × 65536)
    floor (42505.5)     		ty = 42505
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24057 / 42505 ti = "16/24057/42505"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24057/42505.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24057 ÷ 216
    24057 ÷ 65536     		x = 0.367080688476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42505 ÷ 216
    42505 ÷ 65536     		y = 0.648574829101562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.367080688476562 × 2 - 1) × π
    -0.265838623046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.83515667
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.648574829101562 × 2 - 1) × π
    -0.297149658203125 × 3.1415926535     		Φ = -0.933523183200973
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83515667} λ = -0.83515667}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.933523183200973))-π/2
    2×atan(0.393166071256124)-π/2
    2×0.374601212026671-π/2
    0.749202424053341-1.57079632675     		φ = -0.82159390
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83515667} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.850952°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82159390 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.073863°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24057 KachelY 42505 -0.83515667 -0.82159390 -47.850952 -47.073863
    Oben rechts KachelX + 1 24058 KachelY 42505 -0.83506079 -0.82159390 -47.845459 -47.073863
    Unten links KachelX 24057 KachelY + 1 42506 -0.83515667 -0.82165920 -47.850952 -47.077604
    Unten rechts KachelX + 1 24058 KachelY + 1 42506 -0.83506079 -0.82165920 -47.845459 -47.077604
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82159390--0.82165920) × R
    6.53000000000459e-05 × 6371000     		dl = 416.026300000292m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82159390--0.82165920) × R
    6.53000000000459e-05 × 6371000     		dr = 416.026300000292m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83515667--0.83506079) × cos(-0.82159390) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.681054967845878 × 6371000     		do = 416.023435070216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83515667--0.83506079) × cos(-0.82165920) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.681007151625145 × 6371000     		du = 415.994226461013m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82159390)-sin(-0.82165920))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681054967845878-0.681007151625145)×R²
    abs(-0.83506079--0.83515667)×4.78162207325772e-05×R²
    9.58800000000481e-05×4.78162207325772e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×4.78162207325772e-05×40589641000000     		ar = 173070.614692553m²