Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24054 / 42488
↖ ↑ ↗
← S 47.010226°
W 47.867432°		 ← 416.52 m → S 47.010226°
W 47.861938°		 →
↑
416.47 m
↓
↑
416.47 m
↓
S 47.013971°
W 47.867432°		 ← 416.49 m →
173 463 m²		 S 47.013971°
W 47.861938°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24054 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42488 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.367042541503906 y=0.648323059082031 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.367042541503906 × 216)
    floor (0.367042541503906 × 65536)
    floor (24054.5)     		tx = 24054
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.648323059082031 × 216)
    floor (0.648323059082031 × 65536)
    floor (42488.5)     		ty = 42488
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24054 / 42488 ti = "16/24054/42488"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24054/42488.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24054 ÷ 216
    24054 ÷ 65536     		x = 0.367034912109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42488 ÷ 216
    42488 ÷ 65536     		y = 0.6483154296875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.367034912109375 × 2 - 1) × π
    -0.26593017578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.83544429
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6483154296875 × 2 - 1) × π
    -0.296630859375 × 3.1415926535     		Φ = -0.931893328613892
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83544429} λ = -0.83544429}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.931893328613892))-π/2
    2×atan(0.393807397272952)-π/2
    2×0.375156553507936-π/2
    0.750313107015872-1.57079632675     		φ = -0.82048322
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83544429} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.867432°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.82048322 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.010226°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24054 KachelY 42488 -0.83544429 -0.82048322 -47.867432 -47.010226
    Oben rechts KachelX + 1 24055 KachelY 42488 -0.83534841 -0.82048322 -47.861938 -47.010226
    Unten links KachelX 24054 KachelY + 1 42489 -0.83544429 -0.82054859 -47.867432 -47.013971
    Unten rechts KachelX + 1 24055 KachelY + 1 42489 -0.83534841 -0.82054859 -47.861938 -47.013971
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.82048322--0.82054859) × R
    6.53700000000645e-05 × 6371000     		dl = 416.472270000411m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.82048322--0.82054859) × R
    6.53700000000645e-05 × 6371000     		dr = 416.472270000411m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83544429--0.83534841) × cos(-0.82048322) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.681867823363663 × 6371000     		do = 416.519969065799m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83544429--0.83534841) × cos(-0.82054859) × R
    9.58799999999371e-05 × 0.681820005359432 × 6371000     		du = 416.490759367144m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.82048322)-sin(-0.82054859))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.681867823363663-0.681820005359432)×R²
    abs(-0.83534841--0.83544429)×4.78180042314813e-05×R²
    9.58799999999371e-05×4.78180042314813e-05×6371000²
    9.58799999999371e-05×4.78180042314813e-05×40589641000000     		ar = 173462.934564347m²