Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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16 / 24051 / 28159
↖ ↑ ↗
← N 24.532132°
W 47.883911°		 ← 555.71 m → N 24.532132°
W 47.878418°		 →
↑
555.68 m
↓
↑
555.68 m
↓
N 24.527135°
W 47.883911°		 ← 555.73 m →
308 802 m²		 N 24.527135°
W 47.878418°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 16 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 24051 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28159 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.366996765136719 y=0.429679870605469 und der Vergrößerungsstufe zoom=16 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.366996765136719 × 216)
    floor (0.366996765136719 × 65536)
    floor (24051.5)     		tx = 24051
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.429679870605469 × 216)
    floor (0.429679870605469 × 65536)
    floor (28159.5)     		ty = 28159
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 16 / 24051 / 28159 ti = "16/24051/28159"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/16/24051/28159.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 24051 ÷ 216
    24051 ÷ 65536     		x = 0.366989135742188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28159 ÷ 216
    28159 ÷ 65536     		y = 0.429672241210938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.366989135742188 × 2 - 1) × π
    -0.266021728515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.83573191
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.429672241210938 × 2 - 1) × π
    0.140655517578125 × 3.1415926535     		Φ = 0.441882340697678
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.83573191} λ = -0.83573191}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(0.441882340697678))-π/2
    2×atan(1.55563269500826)-π/2
    2×0.999481403193872-π/2
    1.99896280638774-1.57079632675     		φ = 0.42816648
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.83573191} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -47.883911°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.42816648 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 24.532132°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 24051 KachelY 28159 -0.83573191 0.42816648 -47.883911 24.532132
    Oben rechts KachelX + 1 24052 KachelY 28159 -0.83563603 0.42816648 -47.878418 24.532132
    Unten links KachelX 24051 KachelY + 1 28160 -0.83573191 0.42807926 -47.883911 24.527135
    Unten rechts KachelX + 1 24052 KachelY + 1 28160 -0.83563603 0.42807926 -47.878418 24.527135
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.42816648-0.42807926) × R
    8.7219999999999e-05 × 6371000     		dl = 555.678619999993m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.42816648-0.42807926) × R
    8.7219999999999e-05 × 6371000     		dr = 555.678619999993m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.83573191--0.83563603) × cos(0.42816648) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.909728562322199 × 6371000     		do = 555.709038693067m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.83573191--0.83563603) × cos(0.42807926) × R
    9.58800000000481e-05 × 0.909764772910752 × 6371000     		du = 555.731157984676m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.42816648)-sin(0.42807926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.909728562322199-0.909764772910752)×R²
    abs(-0.83563603--0.83573191)×3.62105885527431e-05×R²
    9.58800000000481e-05×3.62105885527431e-05×6371000²
    9.58800000000481e-05×3.62105885527431e-05×40589641000000     		ar = 308801.777546932m²